2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Комплексная функция, отображение областей
Сообщение05.11.2010, 19:46 
Приветствую! Дана комплексная функция $w=\cos(z)$. Необходимо определить, во что эта функция отобразит некоторую геометрическую фигуру, в частности прямоугольную сетку $x=C$,$y=C$. Предполагаю, что для начала нужно найти $\left| w \right|$ и аргумент $w$, но у меня не получается. Пробовал преобразовывать косинус, представляя его через $\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}$, но ничего не вышло. Подскажите, как найти модуль и аргумент этой функции.

 
 
 
 Re: Комплексная функция
Сообщение05.11.2010, 23:08 
Аватара пользователя
Какой функции ? этой
Цитата:
$w=cos(z)$
?
ну с модулем всё ясно.

 
 
 
 Re: Комплексная функция
Сообщение05.11.2010, 23:20 
Я всегда думал, что аргумент и модуль есть только у комплексных чисел, а не у комплекснозначных функций.

 
 
 
 Re: Комплексная функция
Сообщение06.11.2010, 00:16 
Аватара пользователя
Dilettante в сообщении #370621 писал(а):
Предполагаю, что для начала нужно найти $\left| w \right|$ и аргумент $w$, но у меня не получается.

Есть же очень милая формула, выражающая косинус комплексного числа через обычные и гиперболические синус и косинус.

Joker_vD в сообщении #370761 писал(а):
Я всегда думал, что аргумент и модуль есть только у комплексных чисел, а не у комплекснозначных функций.

А что является значением комплекснозначной функции?

 
 
 
 Re: Комплексная функция
Сообщение06.11.2010, 00:29 
Аватара пользователя
Да уж, я про модуль, что-то поспешил ответить(чего-то не заметил, что там функция , а некомплексное число). Согласен с Joker_vD, про
Цитата:
Я всегда думал, что аргумент и модуль есть только у комплексных чисел, а не у комплекснозначных функций.
, может автор что-то другое имел в виду?

 
 
 
 Re: Комплексная функция
Сообщение06.11.2010, 00:46 
Аватара пользователя
Пусть $z=x+iy$, тогда $w=cos(z)=cos(x+iy)=cos(x)ch(y)-isin(x)sh(y)$ Можно отсюда найти модуль и аргумент? И вообще, если $w=f(z)$ и $z=x+iy$, то $w=u(x, y)+iv(x, y)$.

 
 
 
 Re: Комплексная функция
Сообщение06.11.2010, 01:01 
Аватара пользователя
так параметризуйте координатные прямые и подставляйте в
Виктор Викторов в сообщении #370800 писал(а):
$w=cos(z)=cos(x+iy)=cos(x)ch(y)-isin(x)sh(y)$

 
 
 
 Re: Комплексная функция
Сообщение06.11.2010, 01:06 
Аватара пользователя
paha в сообщении #370804 писал(а):
так параметризуйте координатные прямые и подставляйте в
Виктор Викторов в сообщении #370800 писал(а):
$w=cos(z)=cos(x+iy)=cos(x)ch(y)-isin(x)sh(y)$

Я "за", но работать должен автор темы.

(Оффтоп)

Рад Вас видеть.

 
 
 
 Re: Комплексная функция
Сообщение06.11.2010, 01:13 
Виктор Викторов в сообщении #370793 писал(а):
А что является значением комплекснозначной функции?

А есть ли разница между "модуль комплекснозначной функции" и "модуль значения комплекснозначной функции"?

 
 
 
 Re: Комплексная функция
Сообщение06.11.2010, 01:23 
Аватара пользователя
Joker_vD в сообщении #370808 писал(а):
Виктор Викторов в сообщении #370793 писал(а):
А что является значением комплекснозначной функции?

А есть ли разница между "модуль комплекснозначной функции" и "модуль значения комплекснозначной функции"?

А как Вы думаете? Возьмите, например, функцию $w=z$ и посмотрите.

 
 
 
 Re: Комплексная функция
Сообщение06.11.2010, 10:38 

(Оффтоп)

Композция модуля и тождественной функции есть модуль. Да. И что? А вот вы возьмите $w = f(z)$ и посмотрите.

 
 
 
 Re: Комплексная функция
Сообщение06.11.2010, 10:42 
Зачем автору вообще модуль и аргумент, если спрашивается, во что перейдёт при отображении прямоугольная сетка?

Прямые $x=C$ переходят в семейство кривых $x=\cos C\ch t, y=-\sin C\sh t$ (представляющих собой гиперболы $\frac{x^2}{\cos^2 C}-\frac{y^2}{\sin^2 C}=1$ и два вырожденных случая - прямую и два луча), а прямые $y=C$ в кривые $x=\ch C\cos t, y=-\sh C\sin t$ (а это - семейство эллипсов $\frac{x^2}{\ch^2 C}+\frac{y^2}{\sh^2 C}=1$ и вырожденный случай - отрезок). Собственно, выше paha уже всё сказал.

 
 
 
 Re: Комплексная функция
Сообщение06.11.2010, 13:23 
Модуль и аргумент решил искать, т.к. подобное задание решалось на практике и там мы искали модуль и аргумент, а от них уже отталкивались. Про соотношение $$w=cos(z)=cos(x+iy)=cos(x)ch(y)-isin(x)sh(y)$$ я если честно не знал...
Спасибо всем за развёрнутые рекомендации! Буду разбираться

 
 
 
 Re: Комплексная функция
Сообщение06.11.2010, 15:40 
Аватара пользователя
Виктор Викторов в сообщении #371139 писал(а):
Joker_vD в сообщении #370808 писал(а):
Виктор Викторов в сообщении #370793 писал(а):
А что является значением комплекснозначной функции?

А есть ли разница между "модуль комплекснозначной функции" и "модуль значения комплекснозначной функции"?

А как Вы думаете? Возьмите, например, функцию $w=z$ и посмотрите.

Joker_vD в сообщении #371250 писал(а):

(Оффтоп)

Композция модуля и тождественной функции есть модуль. Да. И что? А вот вы возьмите $w = f(z)$ и посмотрите.

Если $w=f(z)$ и $z=x+iy$, то $w=u(x, y)+iv(x, y)$. Можно в этом случае найти модуль $w$ или нет?

 
 
 
 Re: Комплексная функция
Сообщение06.11.2010, 22:51 
Аватара пользователя
MetaMorphy в сообщении #371253 писал(а):
Прямые $x=C$ переходят

ай-яй-яй... зачем же лень человеческую поощрять. Ну, нашел бы топикстартер уравнения в полярных координатах, помучался бы с гиперболами

(Оффтоп)

хотя, если ему верить, то все равно будет с модулем и аргументом делать:)

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group