Комплексная функция, отображение областей

[Dilettante]

Приветствую! Дана комплексная функция $w=\cos(z)$. Необходимо определить, во что эта функция отобразит некоторую геометрическую фигуру, в частности прямоугольную сетку $x=C$,$y=C$. Предполагаю, что для начала нужно найти $\left| w \right|$ и аргумент $w$, но у меня не получается. Пробовал преобразовывать косинус, представляя его через $\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}$, но ничего не вышло. Подскажите, как найти модуль и аргумент этой функции.

[maxmatem]

Какой функции ? этой

Цитата:

$w=cos(z)$

?
ну с модулем всё ясно.

[Joker_vD]

Я всегда думал, что аргумент и модуль есть только у комплексных чисел, а не у комплекснозначных функций.

[Виктор Викторов]

Dilettante в сообщении #370621 писал(а):

Предполагаю, что для начала нужно найти $\left| w \right|$ и аргумент $w$, но у меня не получается.

Есть же очень милая формула, выражающая косинус комплексного числа через обычные и гиперболические синус и косинус.

Joker_vD в сообщении #370761 писал(а):

Я всегда думал, что аргумент и модуль есть только у комплексных чисел, а не у комплекснозначных функций.

А что является значением комплекснозначной функции?

[maxmatem]

Да уж, я про модуль, что-то поспешил ответить(чего-то не заметил, что там функция , а некомплексное число). Согласен с Joker_vD, про

Цитата:

Я всегда думал, что аргумент и модуль есть только у комплексных чисел, а не у комплекснозначных функций.

, может автор что-то другое имел в виду?

[Виктор Викторов]

Пусть $z=x+iy$, тогда $w=cos(z)=cos(x+iy)=cos(x)ch(y)-isin(x)sh(y)$ Можно отсюда найти модуль и аргумент? И вообще, если $w=f(z)$ и $z=x+iy$, то $w=u(x, y)+iv(x, y)$.

[paha]

так параметризуйте координатные прямые и подставляйте в

Виктор Викторов в сообщении #370800 писал(а):

$w=cos(z)=cos(x+iy)=cos(x)ch(y)-isin(x)sh(y)$

[Виктор Викторов]

paha в сообщении #370804 писал(а):

так параметризуйте координатные прямые и подставляйте в

Виктор Викторов в сообщении #370800 писал(а):

$w=cos(z)=cos(x+iy)=cos(x)ch(y)-isin(x)sh(y)$

Я "за", но работать должен автор темы.

(Оффтоп)

Рад Вас видеть.

[Joker_vD]

Виктор Викторов в сообщении #370793 писал(а):

А что является значением комплекснозначной функции?

А есть ли разница между "модуль комплекснозначной функции" и "модуль значения комплекснозначной функции"?

[Виктор Викторов]

Joker_vD в сообщении #370808 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #370793 писал(а):

А что является значением комплекснозначной функции?

А есть ли разница между "модуль комплекснозначной функции" и "модуль значения комплекснозначной функции"?

А как Вы думаете? Возьмите, например, функцию $w=z$ и посмотрите.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Композция модуля и тождественной функции есть модуль. Да. И что? А вот вы возьмите $w = f(z)$ и посмотрите.

[MetaMorphy]

Зачем автору вообще модуль и аргумент, если спрашивается, во что перейдёт при отображении прямоугольная сетка?

Прямые $x=C$ переходят в семейство кривых $x=\cos C\ch t, y=-\sin C\sh t$ (представляющих собой гиперболы $\frac{x^2}{\cos^2 C}-\frac{y^2}{\sin^2 C}=1$ и два вырожденных случая - прямую и два луча), а прямые $y=C$ в кривые $x=\ch C\cos t, y=-\sh C\sin t$ (а это - семейство эллипсов $\frac{x^2}{\ch^2 C}+\frac{y^2}{\sh^2 C}=1$ и вырожденный случай - отрезок). Собственно, выше paha уже всё сказал.

[Dilettante]

Модуль и аргумент решил искать, т.к. подобное задание решалось на практике и там мы искали модуль и аргумент, а от них уже отталкивались. Про соотношение

$$w=cos(z)=cos(x+iy)=cos(x)ch(y)-isin(x)sh(y)$$

я если честно не знал...
Спасибо всем за развёрнутые рекомендации! Буду разбираться

[Виктор Викторов]

Виктор Викторов в сообщении #371139 писал(а):

Joker_vD в сообщении #370808 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #370793 писал(а):

А что является значением комплекснозначной функции?

А есть ли разница между "модуль комплекснозначной функции" и "модуль значения комплекснозначной функции"?

А как Вы думаете? Возьмите, например, функцию $w=z$ и посмотрите.

Joker_vD в сообщении #371250 писал(а):

(Оффтоп)

Композция модуля и тождественной функции есть модуль. Да. И что? А вот вы возьмите $w = f(z)$ и посмотрите.

Если $w=f(z)$ и $z=x+iy$, то $w=u(x, y)+iv(x, y)$. Можно в этом случае найти модуль $w$ или нет?

[paha]

MetaMorphy в сообщении #371253 писал(а):

Прямые $x=C$ переходят

ай-яй-яй... зачем же лень человеческую поощрять. Ну, нашел бы топикстартер уравнения в полярных координатах, помучался бы с гиперболами

(Оффтоп)

хотя, если ему верить, то все равно будет с модулем и аргументом делать:)