Интеграл Стилтьеса

[caxap]

Просмотрел раздел об интеграле Стилтьеса в Фихтенгольце и не понял, чем интеграл Стилтьеса отличается от простого подведения под знак дифференциала. Например, имеем обычный интеграл Римана

$$\int x^3\,dx=\int x^3\,\frac{d(x^2)}{2x}=\frac 12\int x^2\,d(x^2)$$

Чем последний интеграл отличается от такого-же, но Стилтьеса?

[CowboyHugges]

Дык, Стильтеса он же обобщение римановского, понятно если функция по Риману интегрируема и в качестве интегратора взять в Стилтьесе $g(x)=x$, то обычный интеграл и получится. А вот если по какому-нибудь другому $g(x)$ интегрировать, тогда другое дело, вот если $g(x)=\sin{x}$, то пройдет ваш фокус?

[caxap]

$$\int_{\text{Римана}} f(x) \cos x\,dx=\int_{\text{Римана}} f(x)\,d\sin x \stackrel{?}{=}\int_{\text{Стилтьеса}} f(x)\,d\sin x$$

[Imperator]

$\int\limits_{a}^{b}f(x)dg(x)=\int\limits_{a}^{b}f(x)g'(x)dx$, если $g(x)$
дифференцируема на [a,b] и при этом последний интеграл существует.

[caxap]

Я извиняюсь, но в обоих ответах я не нашел ответа на исходный вопрос.

[Imperator]

Если я скажу, что

caxap в сообщении #370701 писал(а):

$$\int_{\text{Римана}} f(x) \cos x\,dx=\int_{\text{Римана}} f(x)\,d\sin x \stackrel{?}{=}\int_{\text{Стилтьеса}} f(x)\,d\sin x$$

есть правда, то вопрос отпадет?

[caxap]

Нет. Меня интересует, чем в принципе интеграл Стилтьеса $\int f(x)\,dg(x)$ отличается от интеграла Римана $\int f(x)\,dg(x)$, в котором просто $g(x)$ внесена в знак дифференциала.

[Imperator]

Интеграл Римана, в котором $g(x)$ внесена под знак дифференциала, суть интеграл Стилтьеса.

[caxap]

Зачем тогда плодить новые названия? И формулы? Например, в том же Фихтенгольце в разделе об интеграле Стилтьеса заново приведена формула интегрирования по частям, заново выводятся некотоыре свойства и т. д. Зачем -- если это интеграл Римана по сути, который изучен вдоль и поперёк в двух предыдущих томах?

[Imperator]

Потому что в определении интеграла Стилтьеса функция $g(x),$ вообще говоря, не является дифференцируемой.

[caxap]

Аа... Теперь ясно!