2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ряды, доказать равенство коэффициентов
Сообщение05.11.2010, 15:36 


19/10/10
10
Привет.

Решая задачу, столкнулся с технической сложностью:

как показать, что коэффициенты при $x^q$ у двух рядов одинаковы:
$\frac{(1+\sqrt{x})^{2q+p-1}}{(1-\sqrt{x})^{p+1}}$

и

$\frac{1-\sqrt{x}}{(1-2\sqrt{x})^{p+1}}$?

Буду благодарен за идеи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение05.11.2010, 15:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
А это правда?
Уберите корни, они только мешают. Вынесите всё, не связанное с q, в одну сторону.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение05.11.2010, 16:03 


19/10/10
10
Утверждение верное почти наверное:)

Корни убрал. Теперь нас интересуют коэффициенты при $x^{2q}$ у рядов:
$\frac{(1+x)^{2q+p-1}}{(1-x)^{p+1}}$

и

$\frac{1-x}{(1-2x)^{p+1}}$.

Честно говоря, не понимаю что можно вынести.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение05.11.2010, 16:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Ага, спасибо. Теперь умножьте обе части на знаменатель первой из них.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение05.11.2010, 16:31 


19/10/10
10
Но ведь равенство коэффициентов при степени $2q$ у указанных рядов не равносильно такому же условию для рядов после умножения их на что-то еще...

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение05.11.2010, 16:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Фак. Ведь правда. :oops:

-- Пт, 2010-11-05, 17:36 --

Значит, давайте сводить к суммам уродливых биномиальных коэффициентов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение05.11.2010, 18:19 


23/10/10
89
Равенство легко следует из формул Коши для коэффициентов ряда. А именно, если $C$ суть окружность $|z|=r<1/2$ (допустим), обходимая против часовой стрелки, то требуемые коэффициенты равны соответственно
$$
\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{(1+z)^{2q+p-1}dz}{z^{2q+1}(1-z)^{p+1}}
\quad\textrm{и}\quad
\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{(1-z)dz}{z^{2q+1}(1-2z)^{p+1}},
$$
и после подстановки $z=1/w$ равенство этих интегралов становится очевидным - их даже легко вычислить. Например, при целом $p>0$ оба интеграла равны коэффициенту в разложении $(1+x)(2+x)^{2q+p-1}$ при $x^p$, то есть $$2^{2q-1}C_{2q+p-1}^{p}+2^{2q}C_{2q+p-1}^{p-1}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение05.11.2010, 19:52 


19/10/10
10
Идея отличная! Только я вот не понимаю почему интегралы равны...

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение05.11.2010, 20:42 


23/10/10
89
Ну как. После подстановки $z=1/w$ интегралы станут равными
$$\frac{1}{2\pi i}\int_{C'}\frac{w(w+1)^{2q+p-1}}{(w-1)^{p+1}}dw
\quad\textrm{и}\quad
\frac{1}{2\pi i}\int_{C'}\frac{w^{2q+p-1}(w-1)}{(w-2)^{p+1}}dw,$$
где $C'$ - грубо говоря, большущая окружность с центром в нуле (обход против часовой).

Давайте ещё подстановки $w=1+u$ и $w=2+u$ сделаем, чтобы совсем понятно стало 8-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение05.11.2010, 21:04 


19/10/10
10
Точно. Я просто арифметически ошибся, когда в первый подставлял. Стыдно.

А изначально в задаче требовалось доказать нетривиальное биномиальное тождество. Решал с помощью производящих функций. Вот и надо было приравнять коэффициенты при одной степени.

Спасибо огромное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряды
Сообщение05.11.2010, 21:17 


23/10/10
89
Раз уж такова задача, возможно, вам будет полезно прочитать вот эту книгу. Такое чувство всесилия "робототехники" навевает 8-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group