задача по математике для физиков

[moscwicz]

Очень простая задача, математики с ней наверняка справятся, а вот физики, которые считаются основными потребителями тензорного нализа?

В $\mathbb{R}^m$ иеется ковариантное тензорное поле $a=\{a_i(x)\}$. Вопрос: какие на это поле нужно наложить условия, чтобы в окрестности каждой точки существовала локальная система координат в которой $a=(1,0\ldots,0)$?

[Bulinator]

Ковариантное векторное поле - это множество 1-форм на $T*R^m$. Чтобы они локально приводилось к такой форме, они локально должны зависеть от одной координаты. А для этого требуется, чтобы внешний дифференциал этих один форм был равен нулю, или что тоже самое коммутатор этих векторных полей равнялся 0.
$\partial_ia_j-\partial_ja_i=0$

[moscwicz]

Bulinator в сообщении #369999 писал(а):

Ковариантное векторное поле - это множество 1-форм на $T*R^m$. Чтобы они локально приводилось к такой форме, они локально должны зависеть от одной координаты. А для этого требуется, чтобы внешний дифференциал этих один форм был равен нулю, или что тоже самое коммутатор этих векторных полей равнялся 0.
$\partial_ia_j-\partial_ja_i=0$

ответ верный ( с оговоркой, что еще должно быть $a\ne 0$), а решение странное т.е. просто чепуха написана. Врочем физику правильный ответ важнее решения:)

[Bulinator]

moscwicz в сообщении #370000 писал(а):

решение странное т.е. просто чепуха написана.

Почем это чепуха???? Есть неправильное утверждение??

[moscwicz]

Чепуха, хотя бы потому, что для ковариантных тензоров

Bulinator в сообщении #369999 писал(а):

коммутатор

вообще не определяется. И поле у нас одно , а не несколько, как Вы это все время пишите. И почему что-то то там должно зависеть от одной координаты и как из этого следует замкнутость формы?

[Bulinator]

moscwicz в сообщении #370006 писал(а):

вообще не определяется

Ну тут я действительно допустил, что есть симплектическая 2-форма и с ее помощью каждой 1-форме(ковариантному вектору) можно сопоставить векторное поле, которое локально имеет вид $a^i\partial_i$. Так что часть прокоммутаторы можете пропустить.

[moscwicz]

Bulinator в сообщении #370011 писал(а):

есть симплектическая 2-форма

во-первых может и нет, если пространство нечетномерно, а во-вторых если оно четномерно, то таких 2-форм много и ни одна из них не имеет отношения к задаче

[Bulinator]

ПРочел все, что написал до этого: бред сумасшедшего в предидущих постах можете пропустить.

На простом языке: просто берем ковариантный вектор {1,0,0...} и делаем преобразование $x\mapsto x^\prime$. Условие на новые компоненты получится автоматически.

На языке 1-форм напишу вечером.

[Padawan]

Bulinator в сообщении #369999 писал(а):

Ковариантное векторное поле - это множество 1-форм на $T*R^m$. Чтобы они локально приводилось к такой форме, они локально должны зависеть от одной координаты. А для этого требуется, чтобы внешний дифференциал этих один форм был равен нулю, или что тоже самое коммутатор этих векторных полей равнялся 0.
$\partial_ia_j-\partial_ja_i=0$

А ведь всё правильно написано, кроме оговорки про коммутатор.
Если $a=(1,\ldots,0)$, то в этих координатах 1-форма $\omega=\sum_i a_idx^i=dx^1$, т.е. является точной. Поэтому $d\omega=d^2x^1=0$.
Обратно, если $d^2\omega=0$, то по лемме Пуанкаре локально $\omega=d\varphi$ для некоторой скалярной функции $\varphi$. Так как $\omega\neq 0$, то $\operatorname{\mathrm {grad}} \varphi\neq 0$ и можно локально дополнить $\varphi$ до системы из $m$ координатных функций $x^1=\varphi, x^2,\ldots,x^m$. В координатах $x^1,\ldots, x^m$ форма $\omega=dx^1=\sum_i a_idx^i$, т.е. $a=(1,\ldots,0)$.

[Bulinator]

Имеем 1 форму $(1,0,\ldots,0)$. d от нее , очевидно, равно нулю. Имея ввиду, что взятие внешней производной коммутативно с преобразованием координат то и в любой системе это будет так.

-- Чт ноя 04, 2010 18:02:31 --

Padawan в сообщении #370042 писал(а):

А ведь всё правильно написано, кроме оговорки про коммутатор.
Если $a=(1,\ldots,0)$, то в этих координатах 1-форма $\omega=\sum_i a_idx^i=dx^1$, т.е. является точной. Поэтому $d\omega=d^2x^1=0$.
Обратно, если $d^2\omega=0$, то по лемме Пуанкаре локально $\omega=d\varphi$ для некоторой скалярной функции $\varphi$. Так как $\omega\neq 0$, то $\operatorname{\mathrm {grad}} \varphi\neq 0$ и можно локально дополнить $\varphi$ до системы из $m$ координатных функций $x^1=\varphi, x^2,\ldots,x^m$. В координатах $x^1,\ldots, x^m$ форма $\omega=dx^1=\sum_i a_idx^i$, т.е. $a=(1,\ldots,0)$.

Браво!!! Вы сказали то, что я пытался из себя выдавить!! Прям бальзам на душу.

Пошел перечитывать Арнольда.

[obar]

Тут можно обойтись и без теоремы Пуанкаре и 1-форм (не всем этот формализм известен).
Я рассуждал так. Векторное поле $(1,...,0)$ - потенциально. Свойство потенциальности не зависит от системы координат (т.к. $a_idx^i$ - скаляр). Следовательно и в исходном базисе должно выполняться условие потенциальности, т.е. равенство нулю "ротора"

$$\partial_ia_j-\partial_ja_i=0$$

(в $\mathbb{R}^n$ - ротором я называю антисимметричный тензор $\partial_ia_j-\partial_ja_i$. В $\mathbb{R}^3$ ему можно сопоставить дуальный вектор, который и называют ротором.)
Обратно. Пусть поле $a$ - потенциально. Условие построения указанной системы координат означает, что координатные линии, касательные к этому полю и построенные с разных точек, не должны пересекаться. Если бы они пересекались, то в точке пересечения существовало бы два значения направления градиента потенциала, что, разумеется, неверно.