2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 задача по математике для физиков
Сообщение04.11.2010, 13:07 


02/10/10
376
Очень простая задача, математики с ней наверняка справятся, а вот физики, которые считаются основными потребителями тензорного нализа?

В $\mathbb{R}^m$ иеется ковариантное тензорное поле $a=\{a_i(x)\}$. Вопрос: какие на это поле нужно наложить условия, чтобы в окрестности каждой точки существовала локальная система координат в которой $a=(1,0\ldots,0)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: задача по математике для физиков
Сообщение04.11.2010, 15:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Ковариантное векторное поле - это множество 1-форм на $T*R^m$. Чтобы они локально приводилось к такой форме, они локально должны зависеть от одной координаты. А для этого требуется, чтобы внешний дифференциал этих один форм был равен нулю, или что тоже самое коммутатор этих векторных полей равнялся 0.
$\partial_ia_j-\partial_ja_i=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: задача по математике для физиков
Сообщение04.11.2010, 15:08 


02/10/10
376
Bulinator в сообщении #369999 писал(а):
Ковариантное векторное поле - это множество 1-форм на $T*R^m$. Чтобы они локально приводилось к такой форме, они локально должны зависеть от одной координаты. А для этого требуется, чтобы внешний дифференциал этих один форм был равен нулю, или что тоже самое коммутатор этих векторных полей равнялся 0.
$\partial_ia_j-\partial_ja_i=0$



ответ верный ( с оговоркой, что еще должно быть $a\ne 0$), а решение странное т.е. просто чепуха написана. Врочем физику правильный ответ важнее решения:)

 Профиль  
                  
 
 Re: задача по математике для физиков
Сообщение04.11.2010, 15:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
moscwicz в сообщении #370000 писал(а):
решение странное т.е. просто чепуха написана.

Почем это чепуха???? Есть неправильное утверждение??

 Профиль  
                  
 
 Re: задача по математике для физиков
Сообщение04.11.2010, 15:16 


02/10/10
376
Чепуха, хотя бы потому, что для ковариантных тензоров
Bulinator в сообщении #369999 писал(а):
коммутатор

вообще не определяется. И поле у нас одно , а не несколько, как Вы это все время пишите. И почему что-то то там должно зависеть от одной координаты и как из этого следует замкнутость формы?

 Профиль  
                  
 
 Re: задача по математике для физиков
Сообщение04.11.2010, 15:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
moscwicz в сообщении #370006 писал(а):
вообще не определяется

Ну тут я действительно допустил, что есть симплектическая 2-форма и с ее помощью каждой 1-форме(ковариантному вектору) можно сопоставить векторное поле, которое локально имеет вид $a^i\partial_i$. Так что часть прокоммутаторы можете пропустить.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача по математике для физиков
Сообщение04.11.2010, 15:26 


02/10/10
376
Bulinator в сообщении #370011 писал(а):
есть симплектическая 2-форма

во-первых может и нет, если пространство нечетномерно, а во-вторых если оно четномерно, то таких 2-форм много и ни одна из них не имеет отношения к задаче

 Профиль  
                  
 
 Re: задача по математике для физиков
Сообщение04.11.2010, 16:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
ПРочел все, что написал до этого: бред сумасшедшего в предидущих постах можете пропустить.

На простом языке: просто берем ковариантный вектор {1,0,0...} и делаем преобразование $x\mapsto x^\prime$. Условие на новые компоненты получится автоматически.

На языке 1-форм напишу вечером.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача по математике для физиков
Сообщение04.11.2010, 16:52 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Bulinator в сообщении #369999 писал(а):
Ковариантное векторное поле - это множество 1-форм на $T*R^m$. Чтобы они локально приводилось к такой форме, они локально должны зависеть от одной координаты. А для этого требуется, чтобы внешний дифференциал этих один форм был равен нулю, или что тоже самое коммутатор этих векторных полей равнялся 0.
$\partial_ia_j-\partial_ja_i=0$

А ведь всё правильно написано, кроме оговорки про коммутатор.
Если $a=(1,\ldots,0)$, то в этих координатах 1-форма $\omega=\sum_i  a_idx^i=dx^1$, т.е. является точной. Поэтому $d\omega=d^2x^1=0$.
Обратно, если $d^2\omega=0$, то по лемме Пуанкаре локально $\omega=d\varphi$ для некоторой скалярной функции $\varphi$. Так как $\omega\neq 0$, то $\operatorname{\mathrm {grad}} \varphi\neq 0$ и можно локально дополнить $\varphi$ до системы из $m$ координатных функций $x^1=\varphi, x^2,\ldots,x^m$. В координатах $x^1,\ldots, x^m$ форма $\omega=dx^1=\sum_i a_idx^i$, т.е. $a=(1,\ldots,0)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача по математике для физиков
Сообщение04.11.2010, 16:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/10
1481
Ереван(3-й участок)
Имеем 1 форму $(1,0,\ldots,0)$. d от нее , очевидно, равно нулю. Имея ввиду, что взятие внешней производной коммутативно с преобразованием координат то и в любой системе это будет так.

-- Чт ноя 04, 2010 18:02:31 --

Padawan в сообщении #370042 писал(а):
А ведь всё правильно написано, кроме оговорки про коммутатор.
Если $a=(1,\ldots,0)$, то в этих координатах 1-форма $\omega=\sum_i a_idx^i=dx^1$, т.е. является точной. Поэтому $d\omega=d^2x^1=0$.
Обратно, если $d^2\omega=0$, то по лемме Пуанкаре локально $\omega=d\varphi$ для некоторой скалярной функции $\varphi$. Так как $\omega\neq 0$, то $\operatorname{\mathrm {grad}} \varphi\neq 0$ и можно локально дополнить $\varphi$ до системы из $m$ координатных функций $x^1=\varphi, x^2,\ldots,x^m$. В координатах $x^1,\ldots, x^m$ форма $\omega=dx^1=\sum_i a_idx^i$, т.е. $a=(1,\ldots,0)$.

Браво!!! Вы сказали то, что я пытался из себя выдавить!! Прям бальзам на душу.

Пошел перечитывать Арнольда.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача по математике для физиков
Сообщение25.04.2011, 05:30 
Заслуженный участник


13/04/11
564
Тут можно обойтись и без теоремы Пуанкаре и 1-форм (не всем этот формализм известен).
Я рассуждал так. Векторное поле $(1,...,0)$ - потенциально. Свойство потенциальности не зависит от системы координат (т.к. $a_idx^i$ - скаляр). Следовательно и в исходном базисе должно выполняться условие потенциальности, т.е. равенство нулю "ротора"
$$\partial_ia_j-\partial_ja_i=0$$
$\mathbb{R}^n$ - ротором я называю антисимметричный тензор $\partial_ia_j-\partial_ja_i$. В $\mathbb{R}^3$ ему можно сопоставить дуальный вектор, который и называют ротором.)
Обратно. Пусть поле $a$ - потенциально. Условие построения указанной системы координат означает, что координатные линии, касательные к этому полю и построенные с разных точек, не должны пересекаться. Если бы они пересекались, то в точке пересечения существовало бы два значения направления градиента потенциала, что, разумеется, неверно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group