про 100 треугольников

[Иван_85]

Есть инетресная задачка.
Всегда ли среди 100 треугольников найдется 1 такой, что его будет можно покрыть остальными 99 ?
Пока-что не могу никак к ней подступиться.
Хотя есть предположение, что нужно построить контрпример.

[ИСН]

Ага, контрпример.
Первый треугольник будет нормальный.
Второй будет такой узкий, что и сотней таких первый не покроешь. Зато во столько же раз более длинный.
Третий будет такой, что рядом с ним второй покажется нормальным.
Ну и так далее.

[Sasha2]

Наверно все же тут не совсем корректно вопрос задан.
Вероятно автор имел ввиду, можно ли треугольник разрезать на 99 треугольников, или что то в этом роде.

[Иван_85]

Условия корректны.
Требуется покрыть 1 треугольник остальными 99 "накидывая" их на него(не разрезая и не сгибая).
Алгоритм построения контрпримера предложенный ИСН вполне подойдет.

[caxap]

А если какие-ниубдь ограничения ещё навесить, например равная сторона у всех треугольников, равный периметр или установить нижнюю и верхнюю границы на размер треугольника? А найти нужно минимальное кол-во треугольников, чтобы любой из них покрывался остальными. По-поему, так интересней.

[Sasha2]

А что тут олимпиадого тогда (если слово "остальными" подразумевает какими угодно).
Тогда очевидный ответ, нет не всегда.

[Xenia1996]

Иван_85 в сообщении #369946 писал(а):

Есть инетресная задачка.
Всегда ли среди 100 треугольников найдется 1 такой, что его будет можно покрыть остальными 99 ?
Пока-что не могу никак к ней подступиться.
Хотя есть предположение, что нужно построить контрпример.

Вот задача с эквивалентной формулировкой: Существуют ли такие 100 треугольников, ни один из которых нельзя покрыть 99 остальными?

Такие треугольники существуют. Мы построим даже бесконечное семейство треугольников $T_1,T_2,T_3 …$ , ни один из которых не покрывается остальными. Пусть все треугольники $T_i$ равнобедренные с основанием $a_i = 10^i$ площади $S_i = (1/3)^i$. Построенное семейство искомое.