Сумма последовательных чисел

[Xenia1996]

При каких натуральных $n$ сумма $n$ последовательных натуральных чисел может быть точным квадратом, а при каких - не может?

Я полагаю, что если $n$ содержит в своём разложении на множители чётное ненулевое число двоек, то не может. В противном случае - может.

Первую половину утверждения я доказала. Разобьём $n$ чисел на пары, как это когда-то сделал пятилетний Гаусс. Количество пар будет содержать в своём разложении на множители нечётное число двоек, а сумма чисел в каждой паре будет нечётна, стало быть, квадрата не получится.

Но вот со второй половиной утверждения немного запуталась (с утра мозги не пашут, да ещё и грипп подхватила). Помогите, пожалуйста, разобраться. Заранее благодарна!

[paha]

для нечетных чисел $n=2p+1$ очевидно:

$$ \sum_{k=1}^{2p+1}(p+k)=p(2p+1)+\frac{(2p+1)(2p+2)}{2}= (2p+1)^2 $$

[Xenia1996]

paha в сообщении #369921 писал(а):

для нечетных чисел $n=2p+1$ очевидно:

$$ \sum_{k=1}^{2p+1}(p+k)=p(2p+1)+\frac{(2p+1)(2p+2)}{2}= (2p+1)^2 $$

Для нечётных и мне самой очевидно. А вот как общее утверждение доказать?

Кстати, задача родилась по мотивам другой задачи с канадской олимпиады 1984-го года. Там вопрос был много проще: может ли сумма 1984 последовательных натуральных чисел быть точным квадратом? Поскольку число 1984 делится на 64, но не делится на 128, оно содержит чётное число двоек в своём разложении на множители, и следовательно, ответ будет отрицательным. Но я решила пойти дальше и малость запуталась.

[paha]

действительно, можно... решение "в лоб"

$$ \sum_{k=1}^n(p+k)=pn+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+2p+1)}{2}=* $$

Будем искать подходящее $p$.
Пусть $n=2^{2r+1}m$, где $m$ -- нечетное

$$ *=2^{2r}m(2^{2r+1}m+2p+1)=* $$

Возьмем большое нечетное число $q$
и найдем $p$ из уравнения

$$ 2p=(q^2-2^{2r+1})m-1 $$

получим

$$ *=(2^rqm)^2 $$

-- Чт ноя 04, 2010 13:44:47 --

вроде, нигде не наврал

[paha]

Собственно, данное решение перечисляет все возможные $n$-ки последовательных натуральных чисел сумма которых -- точный квадрат.

[Xenia1996]

paha в сообщении #369987 писал(а):

Собственно, данное решение перечисляет все возможные $n$-ки последовательных натуральных чисел сумма которых -- точный квадрат.

Большое спасибо!

(А насчёт гиперболического океана)

Вы меня простите, я пошутила. Просто в моём возрасте дают о себе знать гормоны.

[maxal]

paha в сообщении #369987 писал(а):

Собственно, данное решение перечисляет все возможные $n$-ки последовательных натуральных чисел сумма которых -- точный квадрат.

Этого вы не доказали. В частности, почему, например, указанный вами квадрат делится на $m^2$, хотя изначально делимость есть только на $m$? Для свободного от квадратов $m$ этот вывод верен, но $m$, вообще говоря, не обязано быть свободным от квадратов.

-- Wed Nov 10, 2010 02:08:52 --

Нетрудно видеть, что сумма последовательных натуральных чисел от $m+1$ до $n$ равна

$$\frac{(2n+1)^2 - (2m+1)^2}{8}.$$

Поэтому, если она равна квадрату $k^2$, то соответствующее уравнение принимает вид:

$$(2n+1)^2 - (2m+1)^2 = 8k^2.$$

Общее параметрическое решение этого уравнения можно записать в виде:

$$\begin{cases} 2n+1 = |(3u^2 - 2uv + 3v^2)\frac{p}{q}| \\ 2m+1 = |(u^2 - 6uv + v^2)\frac{p}{q}| \\ k = |(u^2 - v^2)\frac{p}{q}| \end{cases} $$

где $u,v,p,q$ - целые числа; $(p,q)=(u,v)=1$; $p$ - нечётно; $q$ делит 16.

[paha]

maxal в сообщении #373025 писал(а):

Этого вы не доказали.

Ну, поленился. Надо было вместо

paha в сообщении #369928 писал(а):

Пусть $n=2^{2r+1}m$, где $m$ -- нечетное

Написать $n=2l^2m$, где $m$ -- нечетное. А остальное -- так же

-- Ср ноя 10, 2010 12:20:34 --

Возьмем нечетное число $q>\sqrt{2}l$
и найдем $p$ из уравнения

$$ 2p=(q^2-2l^2})m-1 $$

получим

$$ *=(lqm)^2 $$

соответственно общий ответ такой:
$n$ последовательных натуральных чисел сумма которых есть точный квадрат
это
1) В случае нечетного $n$
$p+1+\ldots+p+n=(qn)^2$, где $2p=(2q^2-1)n-1$, $q\ge 1$

2) В случае $n=2l^2m$
$p+1+\ldots+p+n=(lqm)^2$, где $2p=(q^2-2l^2})m-1$, нечетное $q>\sqrt{2}l$

3) Для остальных $n$ решений нет
Надо подумать, почему наши ответы -- одно и то же (если оба правильные)

[AlexandreII]

to paha

А почему у Вас сумма начинается с $p+1$, где $p=(n-1)/2$?

-- Ср ноя 10, 2010 12:49:32 --

пример: n=3, числа 5, 6, 7, сумма 18 - не квадрат

[paha]

мой ответ кажется мне разумнее по той причине, что в нем однопараметрическое семейство $n$-ок

-- Ср ноя 10, 2010 13:00:00 --

AlexandreII в сообщении #373048 писал(а):

А почему у Вас сумма начинается с $p+1$, где $p=(n-1)/2$?

-- Ср ноя 10, 2010 12:49:32 --

пример: n=3, числа 5, 6, 7, сумма 18 - не квадрат

$p=(3-1)/2=1$, $2+3+4=(3)^2$

[AlexandreII]

ОК, кажется понял: для данного n должна существовать хотя бы одна сумма

[paha]

AlexandreII в сообщении #373051 писал(а):

ОК, кажется понял: для данного n должна существовать хотя бы одна сумма

нет, для $n=4$ это неправда

[AlexandreII]

Я имел в виду: задача состоит в том, чтобы найти такие $n$, для которых существует хотя бы одна сумма $n$ последовательных натуральных чисел, являющаяся точным квадратом

[paha]

AlexandreII в сообщении #373054 писал(а):

Я имел в виду: задача состоит в том, чтобы найти такие $n$, для которых существует хотя бы одна сумма $n$ последовательных натуральных чисел, являющаяся точным квадратом

исходная задача -- да. Но мы уже пошли далье и дошли до конца)))

[AlexandreII]

$S=k+(k+1)+...+(k+n-1)=(n+2k-1)n/2=l^2$

Выражаем $k$:
$k=\frac{l^2}{n}-n/2+1/2$

Если n - нечетно, очевидно, можно взять $l = n$.
Если n - четно: $n = 2m$
$k =\frac{l^2}{2m}-m+1/2$

Отсюда $l^2/m$ должно быть целым и нечетным
Если $m = 2^{2p} q$, q - нечетно, то можно взять $l = 2^p q$
Если же $m = 2^{2p-1} q$, q - нечетно, то при любом количестве двоек в разложении $l$ частное $l^2/m$ либо четно, либо нецелое
$l= 2^r s$
$l^2/m = 2^{2p-1-2r} s^2/q$
$2p-1-2r \neq 0$ при целых $p,r$

-- Ср ноя 10, 2010 13:29:15 --

То есть ответ: такой суммы не существует, если в разложении $n$ на простые степень двойки четна

-- Ср ноя 10, 2010 13:30:06 --

(ненулевая степень двойки)