Сумма ряда (численное решение для комбинаторной задачи)

[yuriyyy10]

Помогите, пожалуйста, найти преобразование суммы ряда в выражение, численная оценка величины которого может быть реально вычислена. Сумма ряда была получена при решении следующей задачи по комбинаторике.
Определить количество вариантов $N$ построения стопы (стопа - куча, ряд предметов, наложенных один на другой – С.И. Ожегов, Словарь русского языка) высоты $h$ с помощью пластин, толщины которых равны: $e$ и $w$. Соотношение между величинами: $e<<w<<h$; $h$ кратно $w$; $w$кратно $e$. Допустима погрешность 10% при определения количества вариантов .
Начало решения: примем длину самой тонкой пластины толщины $e$ за единицу длины; если в стопе имеется $k$ пластин толщины $w$, то они занимают часть высоты $h$, равную $k w$, и поэтому высота, занимаемая пластинами толщины $e$ будет равна

$$h-k w;$$

общее количество пластин, с учетом того, что толщина тонких пластин принята за единицу длины, будет равно

$$k+ h-k w ;$$

перестановка, с учетом неразличимости пластин одинаковой толщины, и последующее суммирование по $k$ в пределах от $k=0$ (ни одной пластины толщины $w$ нет в стопе) до $k={\frac h w}$ (в стопе все пластины толщины $w$), дают формулу количества вариантов:

$$N= \sum\limits_{ k=0}^{\frac h w}{\frac {(k+ h-k w)!}{k! (h-k w)!}}$$

При значения $h=10^{12}e$, $w=10^6 e$ расчет с помощью полученной формулы не возможен.
Как осуществить числовую оценку суммы?
Применение формулы Стирлинга к слагаемым не позволяет, на мой взгляд, легко получить желаемый результат:

$$N\approx{\frac1 {\sqrt{2 \pi}}\sum\limits_{ k=1}^{\frac h w-1}{\frac{{(k+h-k w)}^{(k+h-k w)+{\frac1 2}}}{{{k^{(k+{\frac1 2})}}{{(h-k w)}^{(h-k w+{\frac1 2})}}}}\verb

Изменены пределы суммирования; вклад слагаемых в сумму на прежних пределах, где знаменатель обращался в ноль, не значителен.
Дальше тупик? Есть ли другие варианты?

[ИСН]

Путём сравнения соседних слагаемых найдите максимальный член.

[yuriyyy10]

Спасибо за совет. Максимальный член не сложно , на первый взгляд, приближенно определить приравняв производную по $k$ от члена ряда, к которому формула Стирлинга уже была применена, нулю. Здесь $k$ не дискретная, а непрерывная величина. Далее, определяется $k$ и затем находится величина наибольшего члена ряда и после умножения на ${\frac h w}$ находится верхняя граница суммы ряда.
Если же вместо знака суммы записать знак интеграла

$${N\approx{\frac1 {\sqrt{2 \pi}}\int_{ k=1}^{\frac h w-1}{\frac{{(k+h-k w)}^{(k+h-k w)+{\frac1 2}}}{{{k^{(k+{\frac1 2})}}{{(h-k w)}^{(h-k w+{\frac1 2})}}}}{d k}\verb

то, может оказаться, что это вполне считаемый интеграл, и можно будет довольно точно определить значение суммы ряда.
Еще раз спасибо за совет.

[ИСН]

В трюке с переходом к интегралу есть некоторая... короче, потренируйтесь на обычном биноме Ньютона, чтобы это не стало неожиданностью.

[Хорхе]

Вот незадача. У меня получается, что асимптотика довольно серьезно зависит от соотношения между $w/e$ и $h/w$. Возможно, я то-то не так делаю.

[ИСН]

Ни разу не удивительно. (Сам не проверял.)

[yuriyyy10]

Хорхе писал(а):

Вот незадача. У меня получается, что асимптотика довольно серьезно зависит от соотношения между $w/e$ и $h/w$. Возможно, я то-то не так делаю.

Если будет во что подставлять, то буду подставлять такие значения: $w/e=2{\verb, $h/w={1,5}{\verb.

[Хорхе]

Это плохо. Придется аккуратней разбираться с тем, как устроен положительный корень уравнения $1-z-z^k=0$.

-- Ср ноя 03, 2010 12:36:48 --

А нет, вовсе это не плохо, потому что нам на самом деле надо решать уравнение $z=\sqrt[k]{1-z}$. Вот это я тупой! Будет время, напишу.

[mihiv]

Есть простая оценка сверху,справедливая при $\frac h{w^2}\leqslant 1,N<(w+1)^M-w^M,$где $M=\frac hw.$Может быть возможно и снизу как-то оценить.

[Хорхе]

Нет, все равно редкая гадость получается...

[yuriyyy10]

mihiv в сообщении #369488 писал(а):

Есть простая оценка сверху,справедливая при $\frac h{w^2}\leqslant 1,N<(w+1)^M-w^M,$где $M=\frac hw.$Может быть возможно и снизу как-то оценить.

Выражение $\frac h {w^2}$ имеет размерность $\frac 1 {\verb , и поэтому оценочное выражене для этой задачи становится непригодным. Сообщите, пожалуйста, где можно прочитать вывод оценочного выражения, чтобы в том числе и понять, как исключить размерность.

[Ales]

Может быть эту задачу надо решать по-другому?
Что-то пытаться вывести из $f(h)=f(h-e)+f(h-w)$.

-- Ср ноя 03, 2010 19:00:21 --

$f(0)=f(e)=...=f(w-e)=1$

-- Ср ноя 03, 2010 19:16:12 --

$ \frac {f(h-w)} w \le \frac {f(h)-f(h-w)} w=\frac {f(h-e)} w \le \frac {f(h)} w$

-- Ср ноя 03, 2010 19:34:47 --

Искать асимптотику: $e^{\frac{Ch} w}$.

[mihiv]

yuriyyy10 в сообщении #369589 писал(а):

Выражение $\frac h {w^2}$ имеет размерность $\frac 1 {\verb , и поэтому оценочное выражене для этой задачи становится непригодным.

По-моему соображения размерности здесь нипричем,т.к. $h$ и $w$ это обычные числа:$h$-максимальное число тонких пластин в стопке,$w$-число тонких пластин,укладывающихся в толстой пластине.Вы и сами говорите,что толщина тонкой пластины принята равной единице.Что касается вывода оценки,то я приведу его позже,т.к. сейчас нет времени.

[Ales]

Разностное линейное однородное уравнение.
Формула для решения: $f(h)=\sum\limits _{k=1} ^{\frac w e}C_kz_k^{-\frac h e}$, где
$z_k$ - корни уравнения $1-z-z^{\frac w e}=0$.
Коэффициенты $C_k$ находятся из системы: $f(0)=f(e)=...=f(w-e)=1$.

[yuriyyy10]

mihiv в сообщении #369781 писал(а):

толщина тонкой пластины принята равной единице

Более точная цитата от "Вт ноя 02, 2010 10:21:36":

yuriyyy10 в сообщении #369168 писал(а):

примем длину самой тонкой пластины толщины e за единицу длины

mihiv в сообщении #369781 писал(а):

По-моему соображения размерности здесь нипричем

Может оказаться, что и ни при чем.