Вопросы по исследованию в задачах на построения

[maxmatem]

Вот проблеме с исследованием задач на построение.Сами задачи я решил, т.е построение произвёл и доказательство с анализом тоже.
1.
Построить треугольник по стороне прилежащему к к ней углу и сумме двух оставшихся сторон.
с построением проблем не возникло.Но вот сколько решений и при каких условиях задача имеет решения, тут возникли проблемы. Я думаю что решение единственное.Если обозначим известную сторону за $a$, а за сумму остальных двух сторон через $d$, то условие при котором задача будет иметь решение будет$ \[ a \leqslant d \]$
2
Построить треугольник по двум сторонам и медиане проведённой к одной из этих сторон. Опять же с построением проблем нет.Я получил что решение единственно.Вот какое здесь условие для сущ, решения нужно ???
$3.$
построить треугольник стороне прилежащему к ней углу и высоте опущенной на третью сторону. Опять же я построил, но решений два.А на сущ решения какие условия?

[VAL]

maxmatem в сообщении #369069 писал(а):

Вот проблеме с исследованием задач на построение.Сами задачи я решил, т.е построение произвёл и доказательство с анализом тоже.
1.
Построить треугольник по стороне прилежащему к к ней углу и сумме двух оставшихся сторон.
с построением проблем не возникло.Но вот сколько решений и при каких условиях задача имеет решения, тут возникли проблемы. Я думаю что решение единственное.Если обозначим известную сторону за $a$, а за сумму остальных двух сторон через $d$, то условие при котором задача будет иметь решение будет$ \[ a \leqslant d \]$

Почти правильно. Если "меньше либо равно" заменить на "меньше" будет совсем правильно. (Ну и угол, конечно, должен быть от $0$ до $\pi$)

-- 02 ноя 2010, 02:50 --

maxmatem в сообщении #369069 писал(а):

2
Построить треугольник по двум сторонам и медиане проведённой к одной из этих сторон. Опять же с построением проблем нет.Я получил что решение единственно.Вот какое здесь условие для сущ, решения нужно ???

Вы сначала строили треугольник, в котором сторонами являются медиана, половина стороны, на которую она опущена, и другая сторона, верно? А при каких условиях существует этот треугольник?

-- 02 ноя 2010, 03:16 --

maxmatem в сообщении #369069 писал(а):

$3.$
построить треугольник стороне прилежащему к ней углу и высоте опущенной на третью сторону. Опять же я построил, но решений два.А на сущ решения какие условия?

Здесь похитрее будет.
Пусть даны сторона $c$, угол $\alpha$ и высота $h_a$.
Одно необходимое условие существования решения довольно простое. Ясно, что высота не может быть больше прилежащей стороны. Т.е. должно выполняться $c \ge h_a$. При равенстве будет получаться единственное решение при условии, что угол $\alpha$ меньше прямого.
Если $c$ строго больше $h_a$, то надо рассмотреть условия $\alpha < \arcsin \frac{h_a}{c}$ и $\alpha + \arcsin \frac{h_a}{c}< \pi$. Условие существования треугольника - выполнение хотя бы одного из них. Если будут выполняться оба, то решений будет два.