Касательное пространство к SL(n). Дифференциал детерминанта.

[Niclax]

Доброго времени суток!
Помогите решить 2 вопроса:
1) Как выглядит $T_ESL(n)$ - касательное пространство к $SL(n)$ в единичной матрице? Как его описать?
2) Чему равен $d_E(det)$ - дифференциал определителя в единичной матрице?
Тут я посчитал якобиеву матрицу и получил, что $d_E(det)(B)=Sp B$. Это верно?

[Padawan]

Верно. Отсюда сразу ответ на первый вопрос.

[paha]

Просто вспомните о том, что $SL_n=\{A\in\mathbb{R}^{n^2}:{\rm det} A=1\}={\rm det}^{-1}(1)$.

В силу того, что $SL_n$ лежит в $\mathbb{R}^{n^2}$, касательное пространство будет некоторым линейным подпространством в $\mathbb{R}^{n^2}$.

Ситуация полностью аналогична тому, что касательная плоскость в точке $(x_0,y_0,z_0)$ к поверхности $F(x,y,z)=0$ определяется нормалью $\nabla F(x_0,y_0,z_0)$

[Padawan]

Niclax в сообщении #368153 писал(а):

Тут я посчитал якобиеву матрицу и получил, что $d_E(det)(B)=Sp B$. Это верно?

Только непонятно, причем тут якобиева матрица?

[paha]

Padawan в сообщении #368182 писал(а):

Только непонятно, причем тут якобиева матрица?

Дифференциал -- линейное отображение касательных пространств. Его матрица -- это матрица Якоби соответствующего отображения в координатах.

[Niclax]

Проверьте мои рассуждения:
Рассмотрим кривую на $SL(n)$, проходящую через $E$:

$B:I\to \mathbb{R}^{n^2}\cong Mat_n$, $t_0\mapsto(\delta_{ij})\mapsto E$
(За $(\delta_{ij})$ я обозначил вектор, последовательно составленный из строк единичной матрицы)

Тогда $[B]$ - класс эквивалентности кривых, имеющих производную $B'(t_0)$, - касательный вектор - элемент касательного пространства $T_ESL(n)$.
Опишем такие кривые. Имеем:

$B(t)\in SL(n)$, т.е. $det B(t)=1$

$F(B(t))=0$, где $F(X)=detX-1$

Продиффенренцируем это равенство по $t$ в $t_0$:

$\nabla F(E)\cdot B'(t_0)=0$

$(\delta_{ij})\cdot B'(t_0)=Sp B'(t_0)=0$

В итоге получим, что:

$T_ESL(n)=\{[B]|SpB'(t_0)=0\}$

т.е. касательное пространство состоит из классов эквивалентности кривых, у которых след производной в прообразе единичной матрицы равен нулю.

[paha]

Т.е. из матриц алгебры Ли $\mathfrak{sl}_n(\mathbb{R})$

-- Пн ноя 01, 2010 11:19:05 --

как и должно быть