Альтернанс для многочлена

[Falex]

А к кому в Инете можно за этим вопросом обратиться?

[Brukvalub]

Может, повезет, и сюда забредет специалист, который быстро ответит. Кроме того, в сообщениях других участников этого форума я несколько раз видел ссылки на англоязычные математические форумы и т.п. ресурсы - поройтесь в архиве сообщений и закиньте Ваш вопрос туда - вдруг там найдется нужный специалист. На самом деле, я знаю, что несколько хороших специалистов по теории приближений работают на мех-мате МГУ - жаль, что они, видимо, не сотрудничают с этим форумом...

[Falex]

Brukvalub а адреса электронного у них нет?

[Brukvalub]

Думаю, что есть, но я его не знаю.

[Falex]

Вообщем то,что я писал доказывать не надо.
Вот другая формулировка задачи (предыдущая была в более общем случае).Теперь мы работаем над действительным полем.
Помогите с д-вом вот такой теоремки:
Пусть $f(x) \in C\left( {\left[ {a,b} \right]} \right)$.Обозначим через $\rho _n (x)$-многочлен
(а именно это есть наипростейшая дробь) наилучшего приближения для $f(x)$ ,где

$$ \rho _n (x) = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{x - x_k }}}. $$

пусть $E(f) = \mathop {\max }\limits_{a \le x \le b} \left| {f(x) - \rho _n (x)} \right|$.
Тогда найдется не менее $(n+1)$ точки (т.е. $\ge (n+1)$) на $[a,b]$,т.е.
найдутся точки $a \le x_1 < x_2 < \ldots < x_{n + 1} \le b$

$$ f(x_j ) - \rho _n (x_j ) = \left( { - 1} \right)^{j - 1} E\left( f \right),\quad j = 1, \ldots ,n + 1 $$

[Brukvalub]

Falex писал(а):

...Обозначим через $\rho _n (x)$-многочлен
(а именно это есть наипростейшая дробь) наилучшего приближения для $f(x)$ ,где

$$ \rho _n (x) = \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{x - x_k }}}. $$

пусть $E(f) = \mathop {\max }\limits_{a \le x \le b} \left| {f(x) - \rho _n (x)} \right|$.
Тогда найдется не менее $(n+1)$ точки (т.е. $\ge (n+1)$) на $[a,b]$,т.е.
найдутся точки $a \le x_1 < x_2 < \ldots < x_{n + 1} \le b$

$$ f(x_j ) - \rho _n (x_j ) = \left( { - 1} \right)^{j - 1} E\left( f \right),\quad j = 1, \ldots ,n + 1 $$

Ну какой же это многочлен! В Ваших сообщениях столько путаницы, что ничего понять просто невозможно. Мало того, что сумма простейших дробей не является многочленом, так еще для каких-то неизвестно как взятых исходных точек, и для искомых точек использованы одни и те же обозначения $ x_k $. Лучше сначала самому осмыслить хотя бы постановку задачи, а уж затем задавать вопрос.

[Falex]

Может сначала узнать "степень" дроби $\rho _n (x)$:

$$ \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{x - x_k }}} = \frac{{nx - \sum\limits_{k = 1}^n {x_k } }}{{\prod\limits_{k = 1}^n {\left( {x - x_k } \right)} }} = \frac{{nx - C}}{{x^n + a_1 x^{n - 1} + \ldots + a_0 }} \approx x^{ - n} $$

[Brukvalub]

Falex писал(а):

Может сначала узнать "степень" дроби $\rho _n (x)$:

$$ \sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{x - x_k }}} = \frac{{nx - \sum\limits_{k = 1}^n {x_k } }}{{\prod\limits_{k = 1}^n {\left( {x - x_k } \right)} }} = \frac{{nx - C}}{{x^n + a_1 x^{n - 1} + \ldots + a_0 }} \approx x^{ - n} $$

И здесь неверно:

$$ \frac{{nx - C}}{{x^n + a_1 x^{n - 1} + \ldots + a_0 }} \approx x^{ 1- n} $$

, кроме того, не указано что это верно при х, стремящемся к бесконечности, и все равно это не многочлен (прочтите определение многочлена в любом школьном учебнике по алгебре для 8-9 классов). В общем , мрак..