2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Альтернанс для многочлена
Сообщение17.10.2006, 18:30 


26/09/05
530
Помогите с доказательством такой теоремки:
Вообщем мы "работаем" с полем комплексных чисел ($z,\lambda_k,\ldots \in C$).
пусть $f(z)$ напрерывна на $[a,b]$ и $H_n (z) = \sum\limits_{k = 1}^n {\lambda _k f(\lambda _k z)} $,где
$h(z)$ - некоторая аналитическая в окрестности начала координат функция. Тогда на $[a,b]$ существует альтернанс,
состоящий не менее,чем из (n+1) точек,т.ч. на $[a,b]$существует z_1 < z_2 < \ldots < z_{n+1}$,т.ч:
$f(z_k)-H_{n}(z_k)= \pm (-1)^{k} E_n(f,[a,b])$,где $E_n  = \mathop {\max }\limits_{a \le z \le b} \left| {f(z) - H_n (z)} \right|$

Буду рад всем предложениям.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.10.2006, 21:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
А при чем здесь упомянутая в условии функция $h(z)$ ?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.10.2006, 22:14 


26/09/05
530
Ну как причем.Я аппроксимирую f(z) суммами $H_{n}(z)$,который строятся из $\lambda_{k}$ и $h(z) = h_0  + h_1 z +  \ldots  + h_n z^n  +  \ldots $

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.10.2006, 22:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Falex писал(а):
Ну как причем.Я аппроксимирую f(z) суммами $H_{n}(z)$,который строятся из $\lambda_{k}$ и $h(z) = h_0  + h_1 z +  \ldots  + h_n z^n  +  \ldots $

Скажите, а Вы сами понимаете свои записи? Теперь появились еще числа $h_i $, которые нигде ранее не упоминались и нигде далее не используются. Попробуйте прочесть свои записи непредвзятым взглядом и понять их.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.10.2006, 06:32 


26/09/05
530
Brukvalub
Это просто разложение h(z) в ряд Тейлора.Вот и все!

 Профиль  
                  
 
 Re: Альтернанс для многочлена
Сообщение18.10.2006, 06:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Falex писал(а):
Помогите с доказательством такой теоремки:
Вообщем мы "работаем" с полем комплексных чисел ($z,\lambda_k,\ldots \in C$).
пусть $f(z)$ напрерывна на $[a,b]$ и $H_n (z) = \sum\limits_{k = 1}^n {\lambda _k f(\lambda _k z)} $,где
$h(z)$ - некоторая аналитическая в окрестности начала координат функция. Тогда на $[a,b]$ существует альтернанс,
состоящий не менее,чем из (n+1) точек,т.ч. на $[a,b]$существует z_1 < z_2 < \ldots < z_{n+1}$,т.ч:
$f(z_k)-H_{n}(z_k)= \pm (-1)^{k} E_n(f,[a,b])$,где $E_n  = \mathop {\max }\limits_{a \le z \le b} \left| {f(z) - H_n (z)} \right|$

Буду рад всем предложениям.

Ну посмотрите, наконец, на свой текст: где в определении функции $H_n (z) = \sum\limits_{k = 1}^n {\lambda _k f(\lambda _k z)} $, участвует функция $h(z) = h_0 + h_1 z + \ldots + h_n z^n + \ldots $ ? У Вас появляются только некие числа \lambda_k и функция f.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.10.2006, 07:14 


26/09/05
530
Извините,что сразу не написал.Вообщем $H_n(z)$ примит следующий вид:
$$h_0 S_1  + h_1 S_2  +  \ldots  + h_n S_{n + 1} z^n  +  \ldots ,$$
где $S_m (\lambda ) = \sum\nolimits_{k = 1}^n {\lambda _k^m } $,
$h_0,h_1,...$-коэффициенты разложения h(z) в ряд Тейлора (в начале координат-в ряд Маклорена).

Добавлено спустя 2 минуты 52 секунды:

Brukvalub я описался в 1-ом посте.
$H_n (z) = \sum\limits_{k = 1}^n {\lambda _k h(\lambda _k z)}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.10.2006, 21:51 


26/09/05
530
У Чебышева есть теорема,где он доказывает,что для полинома наилучшего приближения таких точек $ \ge (n+2)$.

Добавлено спустя 2 часа 27 минут 14 секунд:

Есть хоть какие-нибудь соображения по поводу доказательства?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.10.2006, 22:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Как можно доказать неверную теорему? Вот контрпример: a=-1, b=1, $f(z) = z^2 $, n=1, $\lambda _1  = 1$, $h(z) = 1$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.10.2006, 22:43 


26/09/05
530
Brukvalubчто Вы этим хотите сказать.А n+2 здесь точек альтернанса хотите сказать тоже не будет чтоли??

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.10.2006, 22:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Укажите их, если сможете, ведь все данные перед Вами.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.10.2006, 09:04 


26/09/05
530
Я же не сказал,что конкретный многочлен.СУЩЕСТВУЕТ такой $H_n(z)$.Видимо мы друг друга не допонимаем.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.10.2006, 09:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Falex писал(а):
Я же не сказал,что конкретный многочлен.СУЩЕСТВУЕТ такой $H_n(z)$.Видимо мы друг друга не допонимаем.

Я стараюсь осмыслить то, что Вы формулируете, теперь формулировка опять изменилась.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.10.2006, 09:44 


26/09/05
530
Brukvalub осмыслили? :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.10.2006, 10:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Дело в том, что вопросы об альтернансах и т.п. относятся к теории приближения функций, что достаточно далеко от моих научных интересов, поэтому сейчас мне не помагает ни интуиция, ни наработанный ранее опыт. Я, конечно, еще подумаю, но особенных надежд не питайте - пока мне в голову не пришло ни одной ассоциации.
Лучше сами поройтесь в литературе, расспросите специалистов в этих вопросах и т.п. - может, чего и нароете. На первый згляд, задача не кажется простым учебным упражнением, но,повторяю. я могу и ошибаться - моя интуиция в этой облати пасует. Если чего-нибудь придумаю - напишу (да и думать-то особенно некогда).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group