Альтернанс для многочлена

[Falex]

Помогите с доказательством такой теоремки:
Вообщем мы "работаем" с полем комплексных чисел ($z,\lambda_k,\ldots \in C$).
пусть $f(z)$ напрерывна на $[a,b]$ и $H_n (z) = \sum\limits_{k = 1}^n {\lambda _k f(\lambda _k z)} $,где
$h(z)$ - некоторая аналитическая в окрестности начала координат функция. Тогда на $[a,b]$ существует альтернанс,
состоящий не менее,чем из (n+1) точек,т.ч. на $[a,b]$существует z_1 < z_2 < \ldots < z_{n+1}$,т.ч:
$f(z_k)-H_{n}(z_k)= \pm (-1)^{k} E_n(f,[a,b])$,где $E_n = \mathop {\max }\limits_{a \le z \le b} \left| {f(z) - H_n (z)} \right|$

Буду рад всем предложениям.

[Brukvalub]

А при чем здесь упомянутая в условии функция $h(z)$ ?

[Falex]

Ну как причем.Я аппроксимирую f(z) суммами $H_{n}(z)$,который строятся из $\lambda_{k}$ и $h(z) = h_0 + h_1 z + \ldots + h_n z^n + \ldots $

[Brukvalub]

Falex писал(а):

Ну как причем.Я аппроксимирую f(z) суммами $H_{n}(z)$,который строятся из $\lambda_{k}$ и $h(z) = h_0 + h_1 z + \ldots + h_n z^n + \ldots $

Скажите, а Вы сами понимаете свои записи? Теперь появились еще числа $h_i $, которые нигде ранее не упоминались и нигде далее не используются. Попробуйте прочесть свои записи непредвзятым взглядом и понять их.

[Falex]

Brukvalub
Это просто разложение h(z) в ряд Тейлора.Вот и все!

[Brukvalub]

Falex писал(а):

Помогите с доказательством такой теоремки:
Вообщем мы "работаем" с полем комплексных чисел ($z,\lambda_k,\ldots \in C$).
пусть $f(z)$ напрерывна на $[a,b]$ и $H_n (z) = \sum\limits_{k = 1}^n {\lambda _k f(\lambda _k z)} $,где
$h(z)$ - некоторая аналитическая в окрестности начала координат функция. Тогда на $[a,b]$ существует альтернанс,
состоящий не менее,чем из (n+1) точек,т.ч. на $[a,b]$существует z_1 < z_2 < \ldots < z_{n+1}$,т.ч:
$f(z_k)-H_{n}(z_k)= \pm (-1)^{k} E_n(f,[a,b])$,где $E_n = \mathop {\max }\limits_{a \le z \le b} \left| {f(z) - H_n (z)} \right|$

Буду рад всем предложениям.

Ну посмотрите, наконец, на свой текст: где в определении функции $H_n (z) = \sum\limits_{k = 1}^n {\lambda _k f(\lambda _k z)} $, участвует функция $h(z) = h_0 + h_1 z + \ldots + h_n z^n + \ldots $ ? У Вас появляются только некие числа \lambda_k и функция f.

[Falex]

Извините,что сразу не написал.Вообщем $H_n(z)$ примит следующий вид:

$$h_0 S_1 + h_1 S_2 + \ldots + h_n S_{n + 1} z^n + \ldots ,$$

где $S_m (\lambda ) = \sum\nolimits_{k = 1}^n {\lambda _k^m } $,
$h_0,h_1,...$-коэффициенты разложения h(z) в ряд Тейлора (в начале координат-в ряд Маклорена).

Добавлено спустя 2 минуты 52 секунды:

Brukvalub я описался в 1-ом посте.
$H_n (z) = \sum\limits_{k = 1}^n {\lambda _k h(\lambda _k z)}$

[Falex]

У Чебышева есть теорема,где он доказывает,что для полинома наилучшего приближения таких точек $ \ge (n+2)$.

Добавлено спустя 2 часа 27 минут 14 секунд:

Есть хоть какие-нибудь соображения по поводу доказательства?

[Brukvalub]

Как можно доказать неверную теорему? Вот контрпример: a=-1, b=1, $f(z) = z^2 $, n=1, $\lambda _1 = 1$, $h(z) = 1$

[Falex]

Brukvalubчто Вы этим хотите сказать.А n+2 здесь точек альтернанса хотите сказать тоже не будет чтоли??

[Brukvalub]

Укажите их, если сможете, ведь все данные перед Вами.

[Falex]

Я же не сказал,что конкретный многочлен.СУЩЕСТВУЕТ такой $H_n(z)$.Видимо мы друг друга не допонимаем.

[Brukvalub]

Falex писал(а):

Я же не сказал,что конкретный многочлен.СУЩЕСТВУЕТ такой $H_n(z)$.Видимо мы друг друга не допонимаем.

Я стараюсь осмыслить то, что Вы формулируете, теперь формулировка опять изменилась.

[Falex]

Brukvalub осмыслили?

[Brukvalub]

Дело в том, что вопросы об альтернансах и т.п. относятся к теории приближения функций, что достаточно далеко от моих научных интересов, поэтому сейчас мне не помагает ни интуиция, ни наработанный ранее опыт. Я, конечно, еще подумаю, но особенных надежд не питайте - пока мне в голову не пришло ни одной ассоциации.
Лучше сами поройтесь в литературе, расспросите специалистов в этих вопросах и т.п. - может, чего и нароете. На первый згляд, задача не кажется простым учебным упражнением, но,повторяю. я могу и ошибаться - моя интуиция в этой облати пасует. Если чего-нибудь придумаю - напишу (да и думать-то особенно некогда).