Это я знаю!! Кстати, с помощью дзета-функции Римана можно получить сколь угодно точное приближение к

(если гипотеза Римана верна).
Угу:
topic21405.htmlКстати, правильно ли, что для вычисления

через дзета-функцию, нужно знать большое число нулей дзета-функции? Какова зависимость между нужным числом нулей и величиной

? Может быть окажется проще считать решетом? Или протабулировать функцию?
Меня интересует более "простой" вопрос - если

известна, или выписана какая-то асимптотика, как выразить через неё

?
В Конкретной математике в главе асимптотика есть такой вывод. Смысл такой: берется нужное число членов разложения интегрального логарифма в ряд и обращается с отбрасываем в нужный момент дохлых слагаемых. Можно методом неопределенных коэффициентов искать. К сожалению, у меня не получилось просто записать асимптотическое разложение для функции, обратной к интегральному логарифму. В общем виде - сами знаете как это страшно. Там еще 1 "нерегулярное слагаемое" имеется + члены ряда имеют вид

, в числителе - многочлен степени

c

неизвестными коэффициентам. Ессно, считать простые числа по их номеру через формулу - нечто страшно чудовищное и бессмысленное. Может я и ошибаюсь. Однако там же в любом случае погрешность

.
А чисто теоретически - вполне себе вещь! Например, Вы можете вычислить возможную асимптотику для всяких

и

и более сложных рядов с любой точностью в возможных рамках (там есть ограничения такие же как ограничение невозможности вычислить

через асимптотический ряд с точностью

для

) лишь используя

, причем не пользуясь каждый раз отдельным хитрым приемом как авторы, а тупо почти алгоритмически (но придется сильно потрудится

), результаты, конечно, теряют при этом часть своей красоты... Число членов асимптотики при всех таких преобразованиях - инвариант (и даже - инвариант метода).