Равенство множеств

[Виктор Викторов]

"Определение IIа. $x$ называется равным $y$ ($x = y$) тогда и только тогда, когда для всех $z$ $x\in z$ влечет $y\in z$, и обратно, $y\in z$ влечет $x\in z$, т. е. если каждое множество, содержащее одно из множеств $x$ и $y$, содержит также и другое. Если $x$ не равно $y$, оно называется отличным от $y$ ($x\neq y$) (или множества $x$ и $y$ называются различными."
Абрахам Френкель, Иегоша Бар-Хиллел "Основания теории множеств". Издательство "Мир" Москва 1966. Страница 47.

Чтобы быть равными, множества должны содержать одни и те же элементы. Но сколько у нас в этом случае множеств два или одно? Френкель знал, что рано или поздно этот вопрос будет задан. Он рассмотрел в книге "Set Theory and Logic" множество $F=\left\{1, 2, 3, 4\right\}$ и множество $D$ всех степеней алгебраических уравнений разрешимых в радикалах. Очевидно, что $F=D$. Но также справедлива фраза "в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество $D$ равно множеству $F$". А заменив в этой фразе букву D на букву F, получаем абсурд (absurdity). Или, может быть, различные имена одного и того же множества? Например, фраза "множество всех дробей это множество рациональных чисел". Заменить "рациональных чисел" на "всех дробей". И в этом случае получится абсурд. Если бы кто-нибудь, профессионально занимающийся основаниями математики, произнес несколько слов, то это было бы к месту.

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #367776 писал(а):

Очевидно, что $F=D$. Но также справедлива фраза "в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество $D$ равно множеству $F$".

А при чём тут основания-то. Сегодня -- очевидно, а тогда -- не было очевидно. В чём проблема?...

Виктор Викторов в сообщении #367776 писал(а):

Например, фраза "множество всех дробей это множество рациональных чисел".

Это, кстати, неправда.

[migmit]

Так всё правильно, $F$ и $D$ - разные буквы, обозначающие одно и то же множество. Когда вы говорите о множествах, вы можете подставить $F$ вместо $D$ и наоборот, когда вы говорите о буквах - не можете.

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #367898 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #367776 писал(а):

Например, фраза "множество всех дробей это множество рациональных чисел".

Это, кстати, неправда.

Замените "множество всех дробей" на любое описание множества рациональных чисел, которое Вы считаете правильным. Я пытался показать, что замена этого описания в аналогичной фразе абсурдна: "множество рациональных чисел это множество рациональных чисел".

ewert в сообщении #367898 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #367776 писал(а):

Очевидно, что $F=D$. Но также справедлива фраза "в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество $D$ равно множеству $F$".

А при чём тут основания-то. Сегодня -- очевидно, а тогда -- не было очевидно. В чём проблема?...

Проблема: сколько у нас равных множеств? Получается, что есть множество и множество его имён. А Френкель настаивает, что равных множеств, по крайней мере два. Вопрос не в том что "Сегодня -- очевидно, а тогда -- не было очевидно", в том, что если заменить в фразе "в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество $D$ равно множеству $F$" букву D на букву F, получаем абсурд. Проведем эту замену "в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество $F$ равно множеству $F$". Осмыслено? Нет. На этом основании Френкель говорит: имеем два равных множества, а не одно с разными именами. Вот тут-то у меня и ступор в голове. Взываю о помощи!

migmit в сообщении #367932 писал(а):

Так всё правильно, $F$ и $D$ - разные буквы, обозначающие одно и то же множество. Когда вы говорите о множествах, вы можете подставить $F$ вместо $D$ и наоборот, когда вы говорите о буквах - не можете.

Вот с этим "обозначающие одно и то же множество" и не согласен Френкель. А я хочу понять почему. Мне, как и Вам, кажется что "$F$ и $D$ - разные буквы, обозначающие одно и то же множество".

[migmit]

Ну, это надо у Френкеля выяснять.

[Виктор Викторов]

migmit в сообщении #368011 писал(а):

Ну, это надо у Френкеля выяснять.

Маленькое напоминание: Френкель (Fraenkel) - вторая буква в ZFC. Поэтому есть смысл подойти к делу серьёзно. Во вторых, везде речь идет о двух равных множествах. Проблема то выдумана не мной. А единственное её обсуждение, мной найденное, я привел.

[caxap]

(ИМХО)

Заранее извинясь за возможный бред. Только учусь.

Виктор Викторов в сообщении #368009 писал(а):

Проблема: сколько у нас равных множеств?

По-моему, сколько угодно. Почему вообще равенство (или какое-нибудь другое похожее отношение) множеств и любых других объектов) должно означать, что эти объекты суть одно и то же? Если я, к примеру, введу определение, что два животных равны, если у них одинаковое число глаз, то от этого все равные животные перестанут различаться и станут одним? Есть множество $\{1,2,3,4\}$, есть множество степеней...бубубу, но почему это должно быть одно и то же? По-моему, равенство говорит лишь, для них выполнено некоторое отношение, которое мы сами ввели удобным для нас способом. Способ удобен тем, что почти всегда рассуждение об одном множестве можно заменить рассуждением о равном ему.

[Виктор Викторов]

caxap в сообщении #368105 писал(а):

Если я, к примеру, введу определение, что два животных равны, если у них одинаковое число глаз, то от этого все равные животные перестанут различаться и станут одним?

Вот тут и начинается закавыка. То о чем Вы говорите называется эквивалентность. В понятии эквивалентность много интересного (в частности смотрите знаменитую задачу о брадобрее), но тут все чисто. Грубо говоря, две купюры по одному доллару не равны (например, у них разные серийные номера), а эквивалентны по стоимости (на каждую из бумажек в одном и том же месте можно купить одинаковые вещи). А мой вопрос именно о равных множествах. Т. е. о множествах состоящих из одних и тех же элементов.

[caxap]

(Оффтоп)

Виктор Викторов
Извиняюсь за тупизм, но какая принципиальная разница между эквивалентностью и равенством? Это же просто отношения. Почему определения, которые мы вводим о множествах должны как-то влиять на них (в частности, делать из множеств $F$ и $D$ одно множество)?

Любую вещь можно назвать равенством. Об этом нужно только договориться.

[arseniiv]

Поддержу сахара. Равенство — это такая эквивалентность, точнее которой нам сейчас ничего не нужно. Такая самая конкретная из эквивалентностей (а по самой общей эквивалентности все вещи эквивалентны ).

-- Вс окт 31, 2010 02:06:48 --

То есть, например, у нас есть множество $A$. Тогда рассмотрим множество $A' = A \times B$. Можно определить на нём эквивалентными те пары, у которых первые элементы равны. Получим отображение равенства в $A$ в эквивалентность в $A'$. А в этом множестве уже есть более "точная" эквивалентность — равенство не первых элементов пар, а пар. Таким образом, мы всегда можем, увеличивая число свойств у рассматриваемых объектов, уточнять равенство, и то, что было равно раньше, станет не равно потом. Просто некоторые уточнения не нужны и не имеют никакого смысла, вот мы и останавливаемся на какой-то хорошей эквивалентности, называя её равенством и добавляя аксиому неотличимости элементов, эквивалентнх по равенству. И тогда мы называем их равными.

[Lyosha]

Виктор Викторов в сообщении #368009 писал(а):

На этом основании Френкель говорит: имеем два равных множества, а не одно с разными именами. Вот тут-то у меня и ступор в голове. Взываю о помощи!

Мне кажется,что этот ступор в голове от того,что в "наивной" ТМ под множеством понималась вполне наглядная вещь,а именно некий конструктор.Поэтому вполне естественно было считать собрание каких-то вещей тем же самым собранием.Не так обстоит дело в аксиоматической теории множеств.Там,что вполне естественно для аксиоматического метода,понятию "содержать в качестве элемента" не даётся ни какого определения.Значит и смысл в это понятие можно вкладывать любой,лишь бы выполнялись аксиомы.Например,рассмотрим такое множество,как Солнце,и его элементами будем считать всё-то и только то,что находится вплоть до орбиты Венеры,и такое множество,как Земля,в точности с теми же элементами.Относительно отношения "содержать в качестве элемента" они неразличимы,но это,всё-таки,разные объекты.С точки зрения "наивной" ТМ такое описание множеств Солнце и Земля некорректно.

P.S.А Вы свою подпись внимательно прочитали?

[Виктор Викторов]

"Мы хотим также, чтобы два предмета считались равными в том и только в том случае, если они содержат одни и те же члены и принадлежат одним и тем же множествам."
Абрахам Френкель, Иегоша Бар-Хиллел "Основания теории множеств". Издательство "Мир" Москва 1966. Страница 46.

caxap в сообщении #368110 писал(а):

...какая принципиальная разница между эквивалентностью и равенством?

Вспомним задачу о брадобрее. Командир полка приказал брадобрею брить тех и только тех солдат, которые не бреются сами. Ну а брадобрею как быть? Если он побреет себя, то он нарушил приказ (он же бреется сам!) и если не побреет себя, то опять нарушение (он обязан себя брить; он же не бреется сам!) Командир разделил полк на два взаимно непересекающихся множества, но допустил одну ошибку не добавил: а ты брадобрей отдельное от них третье множество. Исправим ошибку командира. У нас три взаимно непересекающихся множества. Элементы (все различные(!) в каждом из них эквивалентны). Солдат А и солдат В оба не бреются сами - они эквивалентны, но, естественно, различны (они "равны" в том смысле что каждого из них бреет брадобрей). А теперь возьмем два уравнения: $x^3=1$ и $x-1=0$ Множества вещественных корней первого и второго уравнения равны. Они состоят из одного и того же элемента.

-- Сб окт 30, 2010 16:31:53 --

arseniiv в сообщении #368111 писал(а):

Равенство — это такая эквивалентность, точнее которой нам сейчас ничего не нужно.

Виктор Викторов в сообщении #367776 писал(а):

"$x$ называется равным $y$ ($x = y$) тогда и только тогда, когда для всех $z$ $x\in z$ влечет $y\in z$, и обратно, $y\in z$ влечет $x\in z$, т. е. если каждое множество, содержащее одно из множеств $x$ и $y$, содержит также и другое."
Абрахам Френкель, Иегоша Бар-Хиллел "Основания теории множеств". Издательство "Мир" Москва 1966. Страница 47.

Предпочитаю arseniivу Френкеля. Эквивалентность и равенство различные понятия. Эквивалентность - "равенство" в некотором смысле.

-- Сб окт 30, 2010 16:42:41 --

Lyosha в сообщении #368120 писал(а):

Например,рассмотрим такое множество,как Солнце,и его элементами будем считать всё-то и только то,что находится вплоть до орбиты Венеры,и такое множество,как Земля,в точности с теми же элементами.

В ZFC множество определено своими элементами. Не понял, что же является элементами Вашего множества? Солнце у Вас элемент или множество? Укажите элементы Вашего множества.

-- Сб окт 30, 2010 17:00:09 --

caxap в сообщении #368137 писал(а):

arseniiv в сообщении #368111 писал(а):

мы всегда можем, увеличивая число свойств у рассматриваемых объектов, уточнять равенство, и то, что было равно раньше, станет не равно потом.

Это разговор об эквивалентности.

caxap в сообщении #368137 писал(а):

Разве это значит, что в фразе "некоторые не знают, что мн-во вещественных корней уравнения $x^3=1$ и уравнения $x-1=0$ равны" мы имеем право теперь заменять множество на равное?

Вот это ровно тот вопрос, который меня и интересует! Но множество то одно $\left\{1\right\}$.

[Lyosha]

Виктор Викторов в сообщении #368125 писал(а):

Lyosha в сообщении #368120 писал(а):

Например,рассмотрим такое множество,как Солнце,и его элементами будем считать всё-то и только то,что находится вплоть до орбиты Венеры,и такое множество,как Земля,в точности с теми же элементами.

В ZFC множество определено своими элементами. Не понял, что же является элементами Вашего множества? Солнце у Вас элемент или множество? Укажите элементы Вашего множества.

Ну хорошо,чтобы не возникало несущественных для рассмотрения нюансов Солнце заменю на Марс.А элементами считается вточности всё то,что находится внутри сферы большим кругом которой является орбита Венеры(пренебрегая её неидеальностью).Как астрономические объекты они различны,но как множества - вовсе нет.

[Someone]

Что касается равенства, то рекомендую посмотреть § 12 и § 13 главы V книги

Е.Расёва, Р.Сикорский. Математика метаматематики. "Наука", Москва, 1972.

Там рассматриваются аксиомы равенства в общем виде и их конкретизация для некоторых формализованных теорий, включая арифметику и теорию множеств.
Смысл отношения равенства состоит в том, что равные объекты полностью взаимозаменяемы в данной теории.

Виктор Викторов в сообщении #367776 писал(а):

Чтобы быть равными, множества должны содержать одни и те же элементы. Но сколько у нас в этом случае множеств два или одно? Френкель знал, что рано или поздно этот вопрос будет задан. Он рассмотрел в книге "Set Theory and Logic" множество $F=\left\{1, 2, 3, 4\right\}$ и множество $D$ всех степеней алгебраических уравнений разрешимых в радикалах. Очевидно, что $F=D$. Но также справедлива фраза "в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество $D$ равно множеству $F$". А заменив в этой фразе букву D на букву F, получаем абсурд (absurdity). Или, может быть, различные имена одного и того же множества?

$D$ и $F$, конечно, разные имена, но они имеют разные определения: $D=\{x:\Phi(x)\}$ и $F=\{x:\Psi(x)\}$. Вопрос об эквивалентности различных определений может быть весьма сложным. Фраза "в восемнадцатом веке было неизвестно, что множество $D$ равно множеству $F$", кстати, не является высказыванием в языке теории множеств, поэтому ни откуда не следует, что, заменяя в ней одно имя на другое, мы должны получить что-то осмысленное. Аксиомы равенства работают внутри теории, но не обязаны работать вне её.

[Виктор Викторов]

Lyosha в сообщении #368144 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #368125 писал(а):

В ZFC множество определено своими элементами. Не понял, что же является элементами Вашего множества? Солнце у Вас элемент или множество? Укажите элементы Вашего множества.

Ну хорошо,чтобы не возникало несущественных для рассмотрения нюансов Солнце заменю на Марс.А элементами считается вточности всё то,что находится внутри сферы большим кругом которой является орбита Венеры(пренебрегая её неидеальностью).Как астрономические объекты они различны,но как множества - вовсе нет.

Lyosha! Я действительно хочу понять в чём дело. Поэтому все мои придирки именно по делу. Что такое Ваше "всё"? Скала на Марсе элемент Вашего множества или нет? Марс элемент Вашего множества? У Вас же нет критерия с чем сравнивать и нет перечисления? Топор, который я вчера оставил между Марсом и Венерой, элемент Вашего множества? Давайте дадим множеству имя. Например, LV. А теперь опишите его элементы.