Эйлерова характеристика поверхности

[maxmatem]

Надо вычислить эйлерову характеристику для двумерного тора.
Для поверхности n-мерной имеем $\[ \chi (M^n ) = \sum\limits_{i = 0}^n {( - 1)^i q_i } \] $
где $q_{i}$-это число симплексов $i$-размерности в данной триангуляции.
Известно, что кол-во L-мерных граней в n-симплексе, это
$\[ K(L;n) = C_{n + 1}^{L + 1} \]$
Как я понял, что от триангуляции, эйлерова характеристика не зависит, значит можно предположить, что в триангуляции участвует $m$ 2-симплексов(треугольников).
$q_{0}$-это кол-во нульмерных граней(вершин)
Посчитаем сколько в 2-симплексе нульмерных граней. $\[ C_3^1 = 3 \] $, а так как всего симплексов m, то $q_{0}=3m$
аналогично что $q_{1}=3m$
$q_{2}=m$

$\[ \chi (T^2 ) = \sum\limits_{i = 0}^2 {( - 1)^i q_i } = q_0 - q_1 + q_2 = m \] $
Но это как-то на правду не похоже.
где я не прав?

[Null]

Треугольники имеют общие вершины, а вы их по несколько раз посчитали.
Ну и ребер $\frac{3m}{2}$

[maxmatem]

а как избежать подсчёта одних и тех же треугольников?

Цитата:

Ну и ребер $\frac{3m}{2}$

кстати а это почему ?

[Null]

А сколько раз вы посчитали каждое ребро?(Это триангуляция, значит вершины не могут лежать на ребрах)

[maxmatem]

Null
Я уже засомневался что вершин будет $3m$. А нельзя как-то из комбинаторных соображений число граней посчитать?

[Null]

Нельзя посчитать. Количество вершин не задается $m$ однозначно. Ну а граней $m$.

[maxmatem]

как тогда быть? вот как вы посчитали число рёбер?

Цитата:

ребер $\frac{3m}{2}$

да граней я понял почему $m$, оно просто совпадает с кол-вом треугольников в триангуляции.

-- Пт окт 29, 2010 15:27:33 --

и как тогда эту характеристику посчитать?

-- Пт окт 29, 2010 15:42:12 --

я знаю что в итоге должен получиться 0. Но пока он не получается....
Кажется в кол-ве вершин я ошибся...

[paha]

Вы посчитали эйлерову характеристику тора без триангуляции тора)

Самый простой способ решения: склеить тор из двух треугольников: нарисовать две образующих окружности на торе -- их дополнение будет квадратом -- и провести в этом квадрате диагональ.

Таким образом $q_0=1$, $q_1=3$, $q_2=2$...

$1-3+2=0$

[maxmatem]

paha
Спасибо за совет. Т.к эйлерова характеристика не зависит от триангуляции, её считал на простой модели тора в виде квадрата с отождествлёнными противоположными сторонами.И триангуляцию вводил простенькую. Вот и прикинул а если бы в разбиении участвовало $m$-треугольников. как здесь в такой общей постановки задачи быть.Как тогда определить число вершин в триангуляции?

Цитата:

Вы посчитали эйлерову характеристику тора без триангуляции тора)

я тоже об этом уже подумывал, т.к прикинул , что по тому пути которому я пытался посчитать у меня э.х что для тора, что для проективной п-ти, получалось бы одна и таже что не верно. Как быть ?

[paha]

maxmatem в сообщении #367695 писал(а):

Как быть ?

задавать треугольники и их склейки явно

вот если поверхность замкнута и триангуляция из $q_2$ симплексов... ребер будет $q_1=3q_2/2$, как уже было замечено, а вершин -- сколько понадобится

тем и отличаются эйлеровы характеристики разных поверхностей

[maxmatem]

вот как задать кол-во вершин? Вот для тора сколько вершин? кстати $q_1=3q_2/2$ я это не совсем понял...можете объяснить.

[paha]

количество вершин не надо "задавать")

Надо строить триангуляцию интересующего пространства и подсчитывать -- сколько вершин получилось

У каждого 2-симплекса три ребра, но поверхность без края -- поэтому любое ребро триангуляции принадлежит ровно двум различным симплексам (мы неявно подразумеваем триангуляцию "хорошей" -- нет 2-симплексов, склеивающихся сами с собой, хотя и это не запрещено), отсюда и $3/2$.

Если Вы построили триангуляцию тора с $m$ 2-симплексами, то количество вершин, очевидно, будет $3m/2-m=m/2$, а у проективной плоскости $1+m/2$.

-- Пт окт 29, 2010 22:03:53 --

Вот еще забавная схема. Пусть поверхность склеена из равносторонних треугольников так, что каждый треугольник инцидентен трем ребрам и трем вершинам триангуляции (граница треугольника -- петля без самопересечений на на поверхности).

Допустим, имеется $q_0$ вершин, $q_1$ ребер и $q_2$ треугольников. Пусть также в $i$-ой вершине сходятся $m_i$ треугольников. Ясно, что $m_1+\ldots+m_{q_0}=3q_2$.

Полный угол около каждой точки на такой поверхности равен $2\pi$ за исключением вершин. В $i$-ой вершине полный угол равен $\pi m_i/3$ (ведь там сходятся $m_i$ треугольников, причем каждый -- с углом $\pi/3$).
Кривизна в $i$-ой вершине равна $2\pi-\pi m_i/3$.

$$ \sum_i (2\pi-\pi m_i/3)=2\pi q_0-\pi q_2=2\pi(q_0-3q_2/2+q_2)=2\pi\chi, $$

мы доказали теорему Гаусса-Бонне для замкнутых поверхностей.

[maxmatem]

Большое спасибо.Я понял про кол-во рёбер!!!!, а эта теорема интересная, но надо в ней немного разобраться.

Цитата:

а у проективной плоскости $1+m/2$.

это можно не много поподробнее...а если мы прективную плоскость тоже представим в виде триангуляции $m$ 2-симплексов, то кол-во рёбер тоже будет $\frac{3m}{2}$ ?

[paha]

да, $3m/2$ -- это не свойство поверхности, а свойство триангуляции: любое ребро инцидентно ровно двум треугольникам

[maxmatem]

Цитата:

а у проективной плоскости $1+m/2$

почему так?

-- Сб окт 30, 2010 01:07:51 --

у нас же количество вершин это разность числа рёбер и числа 2-симплексов ?