Магнитостатика. Задача

[drug39]

Система токов образована лучевым проводом, выходящем из проводящей плоскости перпендикулярно ей. Ток в проводе равен I. Найти магнитное поле во всем пространстве. У нас один препод приводил эту задачу в качестве примера для применения теоремы о циркуляции. Я с ним не согласен. Решил, применив закон Био, но объяснить ему не смог.

[Munin]

Теорема о циркуляции и закон Био-Савара в этой задаче (да и во всех других, в которых они оба применимы) приводят к одному и тому же ответу. Должны приводить, если вы не наделали ошибок в вычислениях. Так что не соглашаться не с чем.

Более того, закон Био-Савара как раз получается как метод решения задачи о циркуляции в достаточно произвольных условиях.

[Alex-Yu]

drug39 в сообщении #366747 писал(а):

Система токов образована лучевым проводом, выходящем из проводящей плоскости перпендикулярно ей. Ток в проводе равен I. Найти магнитное поле во всем пространстве. У нас один препод приводил эту задачу в качестве примера для применения теоремы о циркуляции. Я с ним не согласен. Решил, применив закон Био, но объяснить ему не смог.

Если бы вы ПРАВИЛЬНО применили закон Био, то получился бы в точности тот же ответ, что и через циркуляцию. Подозреваю, что вы просто забыли приплюсовать магнитное поле от токов, текущих по плоскости.

[drug39]

Предлагался ответ В=2I/(cR) в полупространстве, ограниченном плоскостью, с проводом и В=0 (!) в полупространстве без провода.

[Munin]

Ну а что вам говорит закон Био-Савара, с учётом замечания Alex-Yu?

[drug39]

Ответ сразу можно поставить под сомнение. Ведь В=2I/cR – это классическое поле прямого проводa. Получается, что разные системы токов давали бы одинаковое поле в целом полупространстве! И область, не охваченная током, имеела бы поле, равное 0, - тоже странно.
По закону Био-Савара-Лапласа я получил В=(I/cR)$[1+ \frac{h}{\sqrt{h^2+R^2}}+(2/\pi)arctg(R/h)]$
R и h - цилиндрические координаты, провод лежит на положительной части оси h.

[Munin]

drug39 в сообщении #367092 писал(а):

Ответ сразу можно поставить под сомнение. Ведь В=2I/cR – это классическое поле прямого проводa.

А может быть, смысл задачи был именно в том, чтобы донести до вас красивый факт, что поле в данном случае совпадает с классическим полем прямого провода?

drug39 в сообщении #367092 писал(а):

Получается, что разные системы токов давали бы одинаковое поле в целом полупространстве!

И что в этом такого? Вас, надеюсь, не смущает, когда разные системы зарядов дают одинаковое поле в больших областях пространства? Например, можно взять проводящую оболочку, внутри неё перемещать заряды произвольным образом, и всё равно снаружи от оболочки поле будет одинаковым. Или, ещё более прямая аналогия с вашей задачей, можно взять два электрических заряда, $+q$ и $-q,$ и разместить их в точках $\mathbf{r}$ и $-\mathbf{r},$ а можно взять только первый из этих зарядов, и разместить проходящую через начало координат проводящую плоскость $\perp\mathbf{r}.$ Тогда в этой плоскости возникнет отражение заряда, и поле по одну сторону плоскости будет совпадать с полем двухзарядной системы, а по другую сторону плоскости - будет чистым нулём.

drug39 в сообщении #367092 писал(а):

По закону Био-Савара-Лапласа я получил

Вы всё ещё не учитываете поле от токов в проводящей плоскости. Его тоже надо дайти по закону Био-Савара, и сложить с тем, что вы уже нашли.

А для найденного вами поля у меня есть для вас любопытное упражнение. Найдите от него дивергенцию, и ответьте на вопрос, является ли найденное вами поле соленоидальным (вихревым).

[drug39]

Munin в сообщении #367143 писал(а):

И что в этом такого?

Количество «фокусов» с подменой одной системы токов или зарядов другой системой невелико. Об такой подмене в книгах не встречал...
Munin, разумеется поле плоскости учтено. Это 3-е слагаемое в скобках, а 1-е и 2-е – поле провода. Еще спасибо за упражнение: вспомнил как выглядит дивергент в цилиндрических координатах. Конечно нуль получился. Об этом и по картине поля догадаться можно. Да, забыл написать, что направление поля по правому винту вокруг тока провода.

[Munin]

drug39 в сообщении #367262 писал(а):

Количество «фокусов» с подменой одной системы токов или зарядов другой системой невелико.

Нет, просто вы ещё о немногих знаете :-)

drug39 в сообщении #367262 писал(а):

Munin, разумеется поле плоскости учтено. Это 3-е слагаемое в скобках, а 1-е и 2-е – поле провода.

Тогда посчитали неправильно. Пришла пора приводить выкладки.

[drug39]

Да выкладки - непроблема. Давайте уточним Вашу позицию: теорема о циркуляции была применена им правомерно, да или др. Может будут мнения...

[Munin]

Вы выложите выкладки, тогда будут мнения. А что мнения высказывать о том, что вы в секрете держите?

[drug39]

Похоже, интрига не удалась...

Итак, поле луча
$B_l=\frac{I}{cR}(1+\frac{h}{\sqrt{h^2+R^2}})$.
Разобьем плоскость на секториальные элементы с вершинами в начале луча. Элемент можно считать лучем с током $-I\frac{d\varphi}{2\pi}$. У каждого такого луча имеется противолежащий луч. Их вместе можно считать отрезком с током $-I\frac{d\varphi}{2\pi}$. Причем, точка наблюдения поля находится в плоскости симметрии отрезка. Тогда поле отрезка
$B_{ot}=\frac{-2I\frac{d\varphi}{2\pi}}{ca}cos\varphi$,
где $a$ - расстояние между отрезком и точкой наблюдения поля,
$\pi-2\varphi$- угол, под которым виден отрезок.
Тангенциальная составляющая поля такого отрезка $(0<\varphi<\frac{\pi}{2})$
$dB_{ott}=\frac{2I}{c\sqrt{R^2sin^2\varphi+h^2}cos\varphi}cos\varphi\frac{d\varphi}{2\pi}\frac{h}{\sqrt{R^2sin^2\varphi+h^2}}=\frac{Ih}{c(R^2sin^2\varphi+h^2)}\frac{d\varphi}{\pi}$.
Следует учесть только поле полуплоскости с такими отрезками. Поле плоскости
$B_{pl}=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{Ih}{c(R^2sin^2\varphi+h^2)}cos\varphi\frac{d\varphi}{\pi}}=\frac{2I}{\pi cR}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\frac{R}{h}sin\varphi}{1+\frac{R^2}{h^2}sin^2\varphi}}=\frac{2I}{\pi cR}arctg\frac{R}{h}$.
В итоге поле всей системы
$B=B_{l}+2B_{pl}=\frac{I}{cR}(1+\frac{h}{\sqrt{h^2+R^2}}+\frac{2}{\pi}arctg\frac{R}{h})$.

[Munin]

drug39 в сообщении #399455 писал(а):

Элемент можно считать лучем с током $-I\frac{d\varphi}{2\pi}$. У каждого такого луча имеется противолежащий луч. Их вместе можно считать отрезком с током $-I\frac{d\varphi}{2\pi}$.

Ошибка в этом месте. По другому лучу ток течёт навстречу, так что считать их вместе отрезком с током нельзя.

[drug39]

Цитата:

По другому лучу ток течёт навстречу, так что считать их вместе отрезком с током нельзя.

Читайте внимательней дальше:

Цитата:

Причем, точка наблюдения поля находится в плоскости симметрии отрезка.

[Munin]

Это как-то отменяет, что ток течёт навстречу?