Розовые и голубые числа

[Xenia1996]

Все натуральные числа раскрашены в розовый и голубой цвета так, что чисел каждого цвета бесконечно много. Докажите, что существует число, являющееся и суммой двух розовых, и суммой двух голубых.

Источник задачи: Кубок памяти А. Н. Колмогорова

(попытка решения)

Возьмём два последовательных числа разного цвета $n$ и $n+1$ (они существуют, так как в противном случае все числа были бы одного цвета). Без ограничения общности предположим, что $n$ - розовое, а $n+1$ - голубое. Если все числа, большие $n+1$ - также голубые, то розовых чисел не бесконечно много. Противоречие. Значит, найдётся наименьшее розовое число, большее $n+1$. Назовём его $m$. Тогда $n+m=(n+1)+(m-1)$, что и требовалось.

Но меня волнует один частный случай. Что, если $m=n+2$? Тогда $n+m=(n+1)+(n+1)$ и уже нельзя утверждать, что существует число, являющееся и суммой различных двух розовых, и суммой двух различных голубых. Правда, условие задачи не обязывает их быть различными...

[svv]

Из того, что чисел каждого цвета бесконечно много, следует, что и "смен цвета" тоже бесконечно много – иначе среди них есть максимальная, выше которой, например, только голубые, но тогда розовых конечное количество. Ясно, что два возможных типа перемены цвета (с голубого на розовый и с розового на голубой) чередуются.

Возьмем две перемены цвета различного типа. Итак: $n$ голубое, а $n+1$ розовое. Далее, $m$ розовое, а $m+1$ голубое. Тогда число $n+m+1$ - это сумма и двух голубых ($n$ и $m+1$), и двух розовых ($n+1$ и $m$).

[Xenia1996]

svv в сообщении #367124 писал(а):

Из того, что чисел каждого цвета бесконечно много, следует, что и "смен цвета" тоже бесконечно много – иначе среди них есть максимальная, выше которой, например, только голубые, но тогда розовых конечное количество. Ясно, что два возможных типа перемены цвета (с голубого на розовый и с розового на голубой) чередуются.

Возьмем две перемены цвета различного типа. Итак: $n$ голубое, а $n+1$ розовое. Далее, $m$ розовое, а $m+1$ голубое. Тогда число $n+m+1$ - это сумма и двух голубых ($n$ и $m+1$), и двух розовых ($n+1$ и $m$).

А если $m=n+1$?

[paha]

Xenia1996 в сообщении #367127 писал(а):

А если $m=n+1$?

тогда выберем следующую "смену цвета":

svv в сообщении #367124 писал(а):

и "смен цвета" тоже бесконечно много

[svv]

А что Вас беспокоит, что это будет сумма двух одинаковых розовых чисел? Первый ответ: это не возбранялось. Второй ответ: так как перемен каждого типа бесконечно много, Вы для данного $n$ всегда можете найти бесконечно много разных $m$.

[Xenia1996]

svv в сообщении #367133 писал(а):

А что Вас беспокоит, что это будет сумма двух одинаковых розовых чисел? Первый ответ: это не возбранялось.

(Я в оффтопе написала об этом. Оффы тоже надо читать)

-- Чт окт 28, 2010 12:44:16 --

А если цветов - три?
А если - $n$?

[svv]

Пусть $n=3$. Пусть цвет числа определяется остатком от его деления на 3:
0 - розовый (Р)
1 - голубой (Г)
2 - желтый (Ж)
Тогда Р+Р=Р, Г+Г=Ж, Ж+Ж=Г. Увы...