Все натуральные числа раскрашены в розовый и голубой цвета так, что чисел каждого цвета бесконечно много. Докажите, что существует число, являющееся и суммой двух розовых, и суммой двух голубых.
Источник задачи: Кубок памяти А. Н. Колмогорова
(попытка решения)
Возьмём два последовательных числа разного цвета

и

(они существуют, так как в противном случае все числа были бы одного цвета). Без ограничения общности предположим, что

- розовое, а

- голубое. Если все числа, большие

- также голубые, то розовых чисел не бесконечно много. Противоречие. Значит, найдётся наименьшее розовое число, большее

. Назовём его

. Тогда

, что и требовалось.
Но меня волнует один частный случай. Что, если

? Тогда

и уже нельзя утверждать, что существует число, являющееся и суммой
различных двух розовых, и суммой двух
различных голубых. Правда, условие задачи не обязывает их быть различными...