2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 группа G/G' абелева?
Сообщение27.10.2010, 21:08 


11/04/08
632
Марс
Надо показать, G/G' абелева, где G' - коммутант группы G.
Еще надо показать, что G' - нормальная подгруппа G.

Для меня такая конструкция как G/G' выглядит слегка пугающей и потому просто не укладывается в голове...

 Профиль  
                  
 
 Re: группа G/G' абелева?
Сообщение27.10.2010, 22:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
коммутант -- нормален

$g[h,f]g^{-1}=\ldots=[a,b]$

фактор -- абелев

$gh=\ldots=hg[a,b]$


ну, найдите $a$ и $b$ в обоих случаях

 Профиль  
                  
 
 Re: группа G/G' абелева?
Сообщение27.10.2010, 23:04 


11/04/08
632
Марс
paha в сообщении #366988 писал(а):
коммутант -- нормален
$g[h,f]g^{-1}=\ldots=[a,b]$

Я надеюсь, что эта схема хоть работает? (а то у меня с первого раза как-то не хочет...)

 Профиль  
                  
 
 Re: группа G/G' абелева?
Сообщение27.10.2010, 23:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
Yes, it works

 Профиль  
                  
 
 Re: группа G/G' абелева?
Сообщение28.10.2010, 12:29 


11/04/08
632
Марс
С нормальным делителем всё понятно.
Но откуда взялось это - $gh=\ldots=hg[a,b]$?

 Профиль  
                  
 
 Re: группа G/G' абелева?
Сообщение28.10.2010, 12:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
spyphy в сообщении #367132 писал(а):
откуда взялось это - $gh=\ldots=hg[a,b]$?

это даже проще, чем с нормальным делителем

 Профиль  
                  
 
 Re: группа G/G' абелева?
Сообщение28.10.2010, 13:46 


11/04/08
632
Марс
Может и проще, если использовать какие-либо соображения, о коих я не знаю, либо не замечаю.
Но если пробывать прямо в лоб, то у меня получается так: G/G' абелева, если
$  \forall g_1,g_2 \in G: g_1 G' \cdot g_2 G' = g_2 G' \cdot g_1 G' $
то есть
$ \forall g_1,g_2 \in G: \forall x,y \in G: \exists a,b \in G: g_1 [x,y] g_2 [a,b] = g_2 [a,b] g_1 [x,y] $.
Это так или не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: группа G/G' абелева?
Сообщение28.10.2010, 14:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
зачем так усложнять жизнь, причем рискуя ошибиться???

вспомните определение умножения классов по нормальной подгруппе

 Профиль  
                  
 
 Re: группа G/G' абелева?
Сообщение28.10.2010, 14:34 


11/04/08
632
Марс
хм, ну хотя да, я уже как-то успел подзабыть, что G' - нормальная подгруппа... ) надо будет учесть это обстоятельство...

-- Чт окт 28, 2010 16:09:30 --

Тогда имеем: G/G' - абелева, если
$\forall g,h \in G: ghG'= hgG'$
но переход от этого к этому
$\forall g,h \in G: gh = hgG'$
для меня не вполне очевиден - надо будет доказать отдельно.
Ну а в остальном вроде все сходится - осталось показать, что
$\forall g,h \in G: \exists a,b \in G: gh = hg[a,b] $,
что действительно решабельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: группа G/G' абелева?
Сообщение28.10.2010, 18:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/02/10
1928
spyphy в сообщении #367190 писал(а):
$\forall g,h \in G: ghG'= hgG'$
но переход от этого к этому
$\forall g,h \in G: gh = hgG'$


первое условие означает в точности, что $\exists a , b \in G'$, что $gha= hgb$

-- Чт окт 28, 2010 19:38:36 --

spyphy в сообщении #367190 писал(а):
осталось показать, что
$\forall g,h \in G: \exists a,b \in G: gh = hg[a,b] $,
что действительно решабельно.

тривиабельно

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group