группа G/G' абелева?

[spyphy]

Надо показать, G/G' абелева, где G' - коммутант группы G.
Еще надо показать, что G' - нормальная подгруппа G.

Для меня такая конструкция как G/G' выглядит слегка пугающей и потому просто не укладывается в голове...

[paha]

коммутант -- нормален

$g[h,f]g^{-1}=\ldots=[a,b]$

фактор -- абелев

$gh=\ldots=hg[a,b]$


ну, найдите $a$ и $b$ в обоих случаях

[spyphy]

paha в сообщении #366988 писал(а):

коммутант -- нормален
$g[h,f]g^{-1}=\ldots=[a,b]$

Я надеюсь, что эта схема хоть работает? (а то у меня с первого раза как-то не хочет...)

[paha]

Yes, it works

[spyphy]

С нормальным делителем всё понятно.
Но откуда взялось это - $gh=\ldots=hg[a,b]$?

[paha]

spyphy в сообщении #367132 писал(а):

откуда взялось это - $gh=\ldots=hg[a,b]$?

это даже проще, чем с нормальным делителем

[spyphy]

Может и проще, если использовать какие-либо соображения, о коих я не знаю, либо не замечаю.
Но если пробывать прямо в лоб, то у меня получается так: G/G' абелева, если
$ \forall g_1,g_2 \in G: g_1 G' \cdot g_2 G' = g_2 G' \cdot g_1 G' $
то есть
$ \forall g_1,g_2 \in G: \forall x,y \in G: \exists a,b \in G: g_1 [x,y] g_2 [a,b] = g_2 [a,b] g_1 [x,y] $.
Это так или не так?

[paha]

зачем так усложнять жизнь, причем рискуя ошибиться???

вспомните определение умножения классов по нормальной подгруппе

[spyphy]

хм, ну хотя да, я уже как-то успел подзабыть, что G' - нормальная подгруппа... ) надо будет учесть это обстоятельство...

-- Чт окт 28, 2010 16:09:30 --

Тогда имеем: G/G' - абелева, если
$\forall g,h \in G: ghG'= hgG'$
но переход от этого к этому
$\forall g,h \in G: gh = hgG'$
для меня не вполне очевиден - надо будет доказать отдельно.
Ну а в остальном вроде все сходится - осталось показать, что
$\forall g,h \in G: \exists a,b \in G: gh = hg[a,b] $,
что действительно решабельно.

[paha]

spyphy в сообщении #367190 писал(а):

$\forall g,h \in G: ghG'= hgG'$
но переход от этого к этому
$\forall g,h \in G: gh = hgG'$

первое условие означает в точности, что $\exists a , b \in G'$, что $gha= hgb$

-- Чт окт 28, 2010 19:38:36 --

spyphy в сообщении #367190 писал(а):

осталось показать, что
$\forall g,h \in G: \exists a,b \in G: gh = hg[a,b] $,
что действительно решабельно.

тривиабельно