Гиперболический аналог электромагнитного поля

[Time]

Хорошо известно, что в случае редукции уравнений Максвелла до двух пространственных измерений в качестве частного случая их применимости остаются двумерные электро- и магнитостатические поля. В математическом плане этим достаточно простым полям соответствуют конформные преобразования евклидовой плоскости, которые в случае двух измерений образуют бесконечнопараметрическую группу. Также известно, что в случае редукции уравнений Максвелла до двух пространственно-временных измерений (то есть, когда в задаче остается только одно пространственное измерение и одно временнОе) картины, аналогичной предыдущему случаю, не вырисовывается. Иными словами, из уравнений Максвелла при их двумерном пространственно-временном упрощении не остается в качестве содержательной части пары векторных полей, которым в математическом плане соответствовали бы конформные преобразования двумерной псевдоевклидовой плоскости. Подобное неравноправие исключения из уравнений Максвелла двух координат из четырех, на мой взгляд, по крайней мере чисто теоретически, может иметь своим объяснением существование в реальности, помимо электромагнитного поля, его необычного аналога. У этого аналога (если он существует в реальности) должны также иметься некие уравнения типа уравнений Максвелла, но существенно иные. При редукции этих "иных" уравнений до двух пространственно-временных измерений должны получаться два двумерных векторных поля, реализуемых на псевдоевклидовой плоскости (в неразрывной связи с ее бесконечномерной конформной группой симметрий) и являющихся гиперболическими аналогами двумерных электро- и магнитостатических векторных полей, реализуемых на евклидовой плоскости в связи с ее бесконечномерной конформной группой симметрий. А вот при редукции таких "иных" уравнений до двух пространственных измерений, вполне вероятно, уже не будет получаться картина двух стационарных полей, подчиняющихся бесконечной группе симметрий евклидовой плоскости.
Такое предположение, сколь бы необычным на первый взгляд оно не выглядело, имеет довольно интересные следствия. В частности, оно автоматически приводит к выводу о существовании гиперболических аналогов (пока лучше рассматривать только двумерные задачи на евклидовой плоскости и на двумерной псевдоевклидовой) электрических зарядов, то есть, гиперболических источников. Эти гиперболические источники "живут" на псевдоевклидовой плоскости и их "силовые" линии - радиальные прямые в двумерном пространстве-времени. В этом плане гиперболические источники очень похожи на обычные евклидовы, только они должны ассоциироваться не с особыми точками, а с особыми событиями. Но самое главное, наша исходная гипотеза приводит к выводу о существовании гиперболических аналогов магнитных двумерных точечных вихрей. "Силовые" линии таких "гиперболически магнитных точечных вихрей", учитывая гиперболичность аналогии, реализуются в двумерном пространстве-времени, вместо обычной для евклидовых вихрей формы концентрических окружностей, должны иметь вид псевдоевклидовых концентрических гипербол.
Кто ни будь хочет обсудить предложенную гипотезу? Желательно, содержательным образом, а не в нападках на а-приорное неприятие..

[Munin]

Time в сообщении #366729 писал(а):

Хорошо известно, что в случае редукции уравнений Максвелла до двух пространственных измерений в качестве частного случая их применимости остаются двумерные электро- и магнитостатические поля.

Time в сообщении #366729 писал(а):

Также известно, что в случае редукции уравнений Максвелла до двух пространственно-временных измерений (то есть, когда в задаче остается только одно пространственное измерение и одно временнОе) картины, аналогичной предыдущему случаю, не вырисовывается.

Меня заинтересовала эта пара утверждений. Вот уравнения Максвелла (ЛЛ-2 26.6, 30.2):
$\varepsilon^{iklm}F_{lm,k}=0$
$F^{ik}_{,k}=-\frac{4\pi}{c}j^i$
Не могли бы вы показать, что такое редукция?

[ИгорЪ]

2-форма в двумерии имеет одну компоненту, по-сему я всегда наивно считал, что в двумерии тензор напряженности электро-"магнитного" поля уже не содержит магнитных полей. О чем тогда все многочисленные вышенаписанные буквы? Разъясните пожалуйста!

[Munin]

Вот я подозреваю, что он под "редукцией" чего-то своё понимает, а не просто переход к двумерному случаю. Молчит, не разъясняет.

[Time]

ИгорЪ в сообщении #366838 писал(а):

2-форма в двумерии имеет одну компоненту, по-сему я всегда наивно считал, что в двумерии тензор напряженности электро-"магнитного" поля уже не содержит магнитных полей. О чем тогда все многочисленные вышенаписанные буквы? Разъясните пожалуйста!

Если уж в качестве замены термина гиперболический использовать кавычки, то я говорил не об электро-"магнитном" поле, а о "электро-магнитном" поле. У Вас в кавычках только магнитная составляющая, а у меня обе. Чем отличается гиперболический источник ("электро" в кавычках) от эллиптического источника (электро без кавычек) не сложно понять из следующей иллюстрации:
http://content.foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-85.jpg
Аналогичная иллюстрация для гиперболического "магнитного" и эллиптического магнитного точечного вихрей:
http://content.foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-86.jpg

Ваша 2-форма при редукции с четырех до двух измерений дает двумерные стационарные поля $E$ и $H$, "мой" финслеров аналог уравнений Максвелла при аналогичной редукции дает пару двумерных полей $P$ и $G$. У этих двумерных векторных полей, кроме пространственной имеется еще и временнАя компонента.
И не стОит писать про много букофф, во всяком случае, если хотите общаться конструктивно.

(Оффтоп)

Год назад мы с Вами какое то время обсуждали вопрос гиперболических аналогов множеств Жюлиа и я обещал Вам показать получившиеся у нас результаты. Хотелось бы услышать Ваше мнение по поводу соответствующей статьи:
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... ain-12.pdf
стр. 162-176.

whiterussian (Извините, что не поставила подпись сразу)
Уважаемый Time

Если у вас есть личные вопросы к Munin-у, задавайте их в личных сообщениях. Также напоминаю Вам, что по правилам форума Вы обязаны отвечать на задаваемые вопросы по существу темы.

[Munin]

Time в сообщении #366891 писал(а):

Ваша 2-форма при редукции с четырех до двух измерений дает двумерные стационарные поля $E$ и $H$,

Снова не раскрыто, что это за таинственная редукция такая. ИгорЪ же ясно сказал, что в том виде, в котором он может себе представить переход к двумерному полю, у него получается одно однокомпонентное поле (можете считать, скаляр).

[Time]

Цитата:

Уважаемый Time
Если у вас есть личные вопросы к Munin-у, задавайте их в личных сообщениях. Также напоминаю Вам, что по правилам форума Вы обязаны отвечать на задаваемые вопросы по существу темы.

Извините, не знаю кто сделал мне замечание..
Мой вопрос относился не к Munin-у, а к автору постов, на которые я отвечал, то есть к ИгорЪ. Приведенная для него ссылка на журнальную статью имеет самое прямое отношение к обсуждаемому в теме вопросу, но я не имею ничего против помещения этой информации в оффтоп, просто не догодался этого сделать сам. Г-ну Munin-у я осознанно не собираюсь отвечать и принципиально не желаю общаться. Начав несколько лет назад и по настоящее время он бездоказательно обзывает меня жуликом, шарлатаном и пр. на многих форумах интернета. Продолжает эту деятельность и по сей день (если хотите могу привести ссылки и примеры.) Может быть правила форума dxdy и предусматривают необходимость общения с нечистоплотными людьми, но это идет вразрез с моим воспитанием и выработанными жизненными правилами. Если Вы настаиваете на обязательности общения на территории этого форума с людьми, кому при встрече не подают руки, я даже не знаю как быть. Посоветуйте..

(Оффтоп)

Прошу прощения, что не совсем поняла, кому Вы отвечаете (или не отвечаете). Также, не зная Ваших личных предпочтений для общения, адресовала Вас в неправильном направлении, за что прошу покорно извинить. Что же до ответов на вопросы - здесь, к сожалению, существуют правила. По ним вы обязаны отвечать на вопросы "заслуженных участников и представителей администрации". Munin таковым не является. Игнорировать его, конечно, можно, но ведь вопрос задан по существу и может помочь в раскрытии темы. Можно отвечать oпосредовано, начиная словами "может возникнуть вопрос.." Если Вы хотите продолжить обсуждение данного вопроса - пишите в "личку"
whiterussian

[ИгорЪ]

Time
Чем отличаются особые точки векторных полей эллиптического и гиперб. случаев объяснять не надо.
Мой коммент-это не редукция, и там нет никаких двумерных стац. магнитных и электрических полей, даже в кавычках. Оказывается если еще добавить поля материи это просто общепринятая "двумерная электродинамика" или - модель Швингера. Что вы понимаете под двумерной электродинамикой пока непонятно. Дайте определение.

[myhand]

Time, ну допустим - я повторю вопрос:

Munin в сообщении #366760 писал(а):

Меня заинтересовала эта пара утверждений. Вот уравнения Максвелла (ЛЛ-2 26.6, 30.2):
$\varepsilon^{iklm}F_{lm,k}=0$
$F^{ik}_{,k}=-\frac{4\pi}{c}j^i$
Не могли бы вы показать, что такое редукция?

ИМХО, вопрос по сути. Вот и у меня грешного - токмо электрическое поле остается, $F_{01} = -F_{10}$. Что за "редукция" такая, дающая

Time в сообщении #366891 писал(а):

Ваша 2-форма при редукции с четырех до двух измерений дает двумерные стационарные поля $E$ и $H$

? Да еще и "хорошо известно что". Уверяю, "наша" - ничего подобного не дает.

[Time]

myhand в сообщении #366979 писал(а):

Time, ну допустим - я повторю вопрос:

И в посте ИгорЪ, и в Вашем из четырех координат уравнений Максвелла "убираются" две пространственные координаты и рассматриваются случаи, когда поле остается зависеть от третьей пространственной координаты и от времени. А я, говоря о двумерных электро- и магнитостатическом векторных полях, имел ввиду случаи, когда "убираются" одна временнАя и одна пространственная координата, и поля остаются зависеть от двух пространственных координат. В первом случае редукции задач до двух измерений все правильно, остается лишь одна компонента и такое поле ни с какими бесконечнопараметрическими конформными отображениями псевдоевклидовой плоскости связать принципиально невозможно. А вот при втором варианте редукции задач до двух измерений, когда те не зависят от времени и третьей пространственной координаты, итоговое поле не столь тривиально как Вы с ИгорЪ описываете. В этом втором случае электромагнитное поле, если так можно выразиться, расщепляется на отдельно двумерное электростатическое поле и двумерное магнитостатическое поле с компонентами, например, $E_x, E_y, H_x, H_y$, которые в случае отсутствия распределенных источников и вихрей оказываются подчиняющимися условиям Коши-Римана комплексной переменной.

myhand в сообщении #366979 писал(а):

Да еще и "хорошо известно что". Уверяю, "наша" - ничего подобного не дает.

Неужели Вам не известно, что условия Коши-Римана комплексной переменной и связанные с ними аналитические функции на комплексной плоскости описывают двумерные электро- и магнитостатические векторные поля? Или Вы считаете, что в этом частном двумерном случае уравнения таких полей не вытекают из и не соответствуют четырехмерным уравнениям Максвелла, когда "заморожены" одна временнАя и одна пространственная координата?

-- Чт окт 28, 2010 01:05:02 --

ИгорЪ в сообщении #366971 писал(а):

Чем отличаются особые точки векторных полей эллиптического и гиперб. случаев объяснять не надо.

И Вам хорошо известно, что такое особые точки гиперболических двумерных векторных полей имеющие смысл гиперболических вихрей, гиперболических вихреисточников, гиперболических мультиполей? И понятие гиперболической соленоидальности также не требует объяснений? Может также широко известно, что в двумерном пространственно-временном случае имеются векторные поля, обладающие как гиперболической потенциальностью, так и гиперболической соленоидальностью, а так же как они связаны с гиперболическими условиями Коши-Римана для h-голоморфных функций двойной переменной? Если так, то я, конечно же, зря открыл тему..

ИгорЪ в сообщении #366971 писал(а):

Оказывается если еще добавить поля материи это просто общепринятая "двумерная электродинамика" или - модель Швингера.

Нет, в "моем" случае речь о другом. Вы говорите о том, что получается из уравнений Максвелла, если исключить две пространственные координаты. В этом случае, действительно, остается всего одна компонента и никаких гиперболических условий Коши-Римана для плоскости двойной переменной тут не возникает, хотя бы потому, что последние задают поведение двухкомпонентных векторных полей на псевдоевклидовой плоскости.
Собственно, мое утверждение заключалось в том, что для реального четырехмерного пространства-времени может существовать еще один вариант четырехмерных уравнений, описывающих не обычное электромагнитное поле, а совершенно иное. Высказывается также предположение, что какими бы не были эти "совершенно иные" уравнения, одно из принципиальных их отличий от обычных уравнений Максвелла оказывается то, что при "замораживании" двух пространственных измерений и оставлении значащими только двух пространственно-временнЫх, у оставшихся уравнений точно такая же группа симметрий, как у двумерной псевдоевклидовой плосоксти, или что практически тоже самое, как у h-голоморфных функций двойной переменной. И в этом случае также как и на обычной комплексной плоскости поле "расщепляется" на два самостоятельных поля имеющих не по одной, а по две компоненты, которые в частности, можно обозначить как: $P_ct, P_x, G_ct, G_x$ и эти два ДВУХКОМПОНЕНТНЫХ двумерных векторных поля ведут себя ТОЧНО ТАК ЖЕ как ведут себя векторные поля связанные как с конформными преобразованиями псевдоевклидовой плоскости, так и h-голоморфные функции двойной переменной. При этом эти два двухкомпонентных векторных поля НИКАКОГО ПРЯМОГО ОТНОШЕНИЯ не имеют ни к электромагнитному полю, ни к уравнениям Максвелла. Это ДРУГОЕ поле даже в двух измерениях. Тем более оно приводит к ДРУГОМУ объединенному полю в четырех измерениях. Более того, чтеырехмерным ТАКОЕ поле принципиально не может существовать в четырехмерном пространстве-времени Минковского. Оно может быть только в специального сорта финслеровых четырехмерных пространтсвах, а именно в таких, в которых группа конформных преобразований и в четырехмерных случаях бесконечномерная. Как известно в четырехмерном пространстве Минковского конформная группа 15-параметрическая, кстати точно такая же как и соответствующая группа симметрий уравнений Максвелла. Уже только на основании этого свойства обычные уравнения Максвелла не могут совпадать с теми четырехмерными уравнениями, которые описывают предлагаемое мной четырехмерное гиперболическое поле. Так понятнее?

-- Чт окт 28, 2010 01:16:45 --

ИгорЪ в сообщении #366971 писал(а):

Что вы понимаете под двумерной электродинамикой пока непонятно. Дайте определение.

Я говорю не о двумерной электродинамике, а о двумерном поле, являющемся специфическим аналогом электромагнитного. Его основным свойством является то, что аналоги его источниковой и вихревой составляющих описываются h-голоморфными функциями двойной переменной. Это точно не "ваше" однокомпонентное двумерное электродимическое поле. Условия h-голоморфности функции двойной переменной существенно иные. Такие функции и связанные с ними поля помог мне описать соавтор C.Кокарев. В отличие от меня он профессиональный физик (физфак МГУ) и, возможно, его язык и способ изложения будет Вам более понятным. Попробуйте глянуть соответствующие статьи:
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... ngp_13.pdf

[Munin]

myhand
Продолжите его спрашивать про "редукцию"?

[myhand]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #367059 писал(а):

Продолжите его спрашивать про "редукцию"?

А что мне терять? Вам стало понятнее? Мне - нет.

Добъюсь либо конкретного ответа - либо я попаду в Вашу честную компанию :(

Time в сообщении #367018 писал(а):

И в посте ИгорЪ, и в Вашем из четырех координат уравнений Максвелла "убираются" две пространственные координаты и рассматриваются случаи, когда поле остается зависеть от третьей пространственной координаты и от времени.

Совершенно верно. Был тезора $F_{ij}$, где индексы $i,j=\overline{0,3}$. Мы ограничили интервал, пробегаемый значениями индексов, т.е. стало $i,j=\overline{0,1}$, причем уравнения поля (их приводил Munin) - сохранены. Грубо говоря, мы "вычеркиваем" 3-ю и 4-ю строки (снизу) и 3-й и 4-й столбец (слева) в матричном представлении $F_{ij}$. Получаем

$$F_{ij} = \left(\begin{array}{lll} 0 & E_x\\ -E_x & 0 \end{array}\right)\eqno{(1)}$$

Мне не придумывается более осмысленный кандидат для словечка "редукция" в данном контексте.

Time в сообщении #367018 писал(а):

А я, говоря о двумерных электро- и магнитостатическом векторных полях, имел ввиду случаи, когда "убираются" одна временнАя и одна пространственная координата, и поля остаются зависеть от двух пространственных координат.

На самом деле, можно аналогично (1) "вычеркнуть" также 1-й столбец/строку и произвольные "пространственные" столбец/строку. Например, если "вычеркнуть" 4-ю столбец/строку, то получим

$$F_{ij} = \left(\begin{array}{lll} 0 & -H_z\\ H_z & 0 \end{array}\right)\eqno{(2)}$$

Увы, электрического поля при такой "редукции" - не остается. Уравнения поля сведутся к системе

$$\left\{\begin{array}{lll}+\frac{\partial H_z}{\partial y} &=& 4\pi j_x(x,y) \\ -\frac{\partial H_z}{\partial x} &=& 4\pi j_y(x,y)\end{array}\right. \eqno{(3)}$$

Которая совместна, естественно, только с учетом условия уравнения неприрывности ${\rm div} \vec j = 0$.

Так какая конкретно все-таки процедура редукции подразумевается? Если не затруднит - попробуйте не ограничиваться словами, а написать пару формул Вашего алгоритма редукции.

[ИгорЪ]

Я подозреваю , что Time имеет, но не может выразить следуещее.
В обычной электростатике, в случае независимости распределения зарядов по одной из пространственных координат, задача нахождения полей сводится к двумерной - уравнению Лапласа, которое связано с условиями Коши-Римана и соответственно аналитическими функциями. Граничные условия можно менять конформными преобразованиями, что дает мощный метод решения этих задач.
По-видимомуTime хочет построить гиперболический аналог описанного сюжета. Если так, то это вполне студенческая задача, на дипломную работу потянет, правда подозреваю, что это давно сделано.
В 4-мерном случае сигнатура соответствующей электродинамики будет с двумя минусами-при времени и при одной координате, что вряд ли интересно.

[myhand]

ИгорЪ в сообщении #367107 писал(а):

Я подозреваю , что Time имеет, но не может выразить следуещее.

Подозрение, это, конечно, хорошо.

Но "электростатика" (с одним пространственным измерением) - получается у Вас при редукции, как частный случай в "модели Швингера". Там нету, конечно, никакого уравнения Лапласа. Автор прямо говорит, что имел в виду другое:

Time в сообщении #367018 писал(а):

случаи, когда "убираются" одна временнАя и одна пространственная координата, и поля остаются зависеть от двух пространственных координат

Но и тут все не так получается, как ему хочется - только частные варианты магнитостатики (см. формулы (2-3)). Получаем уравнение гиперболического типа, между прочим:

$$\frac{\partial^2 H_z}{\partial x \partial y} = 4 \pi \frac{\partial j_x}{\partial x} = f(x,y) \eqno{(4)}$$

PS: Ваш подход, на котором получается электростатика с двумерным уравнением Лапласа - вообще связан с исключением одного индекса, а вовсе не двух.

[Time]

Понял, что Вам мешает. Тензорное представление компонент электромагнитного поля не позволяет "вычеркнуть" время из раcсмотрения. Максимум, что можно таким образом сделать это "вычеркнуть" одну строку (например последнюю) и один столбец, например, также последний. Тогда остаются компоненты $E_x, E_y, H_z$. По компонентам электрической составляющей - это именно то, о чем говорил я, но остается "ненужная" магнитная компонента вдоль третьей пространственной координаты $z$. "Вычеркните" и ее, останется то, что "нужно" - двухкомпонентное двумерное электростатическое поле, уравнения и симметрии которого в случае отсутствия распределенных зарядов совпадают с уравнениями Коши-Римана и конформными симметриями комплексной плоскости. Как перейти от тензора четырехмерного электромагнитного поля к двумерному векторному магнитному полю - я вообще не представляю. Но, на мой взгляд, это говорит, скорее, об ущербности связи реального электромагнитного поля с конкретной математической конструкцией, так как случай с компонентами $H_x, H_y, E_z$ практически полностью симметричен предыдущей тройке $E_x, E_y, H_z$, причем так же как там, третья компонента по оси $z$ так же как и там - "лишняя".
Я прекрасно понимаю, что наша реальность не двух, а четырехмерна, и что двумерные поля с компонентами $E_x, E_y, H_x, H_y$, без третьей, а тем более без временнОй четвертой координаты - сильнейшая абстракция. Точно такие же, (если не более) абстрактные - два двумерных двухкомпонентных гиперболических поля $P_{ct}, P_x, G_{ct}, G_x$. Первая четверка хоть в виде неких "рудиментов" в реальности давно обнаружена, тогда как вторая ("моя") четверка - всего лишь подозрение основанное на симметрии математических конструкций, даже оттдаленно не подкрепленное наблюдениями (правда особо и не искали). Но в том то и дело, что я не собираюсь вечно развлекаться с этими двумерными абстрактными эллиптическими и гиперболическими полями и уже сейчас фактически многое ясно как от эллиптического и гиперболического двумерия переходить к трех и к четырехмерию. Естественно не к псевдоевклидову и даже не к псевдориманову.

Что касается редукции уравнений Максвелла к двум вариантам евклидова и псевдоевклидова двумерия, то более удобно, чем с тензором это сделать в формализме старой записи уравнений Максвелла (которая, кстати, была также получена на основе закономерностей которыми обладают гиперкомплексные числа, правда тогда это были кватернионы):
http://content.foto.mail.ru/mail/geom2004/1/i-162.jpg