Определение числа e

[Ales]

age в сообщении #366212 писал(а):

Меня заботит другой вопрос: почему большинство фундаментальных констант: $\pi$, $e$, $\phi$ - числа иррациональные. И только $0$, $1$ - натуральные. Может система счисления у нас выбрана неверно?

Представьте что Пи вдруг равнялась бы трем.
Тогда бы была теорема: длина окружности = три диаметра, и не было бы никакого Пи.

Поэтому любая константа с собственным именем не должна быть рациональной.

Пи и е не алгебраические числа, что не удивительно, ведь они получены своим путем,
а неалгебраических чисел больше, чем алгебраических, вероятность, что не алгебраическое = 1.

[age]

Ales
я не о том. А что если нам выбрать другую систему исчисления, в которой $0,\ 1$ станут иррациональными, а $\pi,\ e,\ \phi$ - целыми.
Ведь что такое единица с точки зрения обывателя? Это по сути, один факт, который он твердо может сказать, что один.
Но мы ведь не обыватели и знаем, что сказать точно, что факт один (одно яблоко, к примеру) - это невозможно, т.к. противоречит квантовой механике (хотя бы), не говоря уже про то, что во времени вообще этот факт не существует: было яблоко и съели.
А вот $\pi,\ e$ - другое дело. Фундаментальные константы. Существуют всегда.

[Ales]

age в сообщении #366237 писал(а):

Ales
я не о том. А что если нам выбрать другую систему исчисления, в которой $0,\ 1$ станут иррациональными, а $\pi,\ e,\ \phi$ - целыми.
Ведь что такое единица с точки зрения обывателя? Это по сути, один факт, который он твердо может сказать, что один.
Но мы ведь не обыватели и знаем, что сказать точно, что факт один (одно яблоко, к примеру) - это невозможно, т.к. противоречит квантовой механике (хотя бы), не говоря уже про то, что во времени вообще этот факт не существует: было яблоко и съели.
А вот $\pi,\ e$ - другое дело. Фундаментальные константы. Существуют всегда.

Рациональными называют отношения натуральных чисел (1, 2, 3,...).
А Вы предлагаете все перепутать. Ну и зачем?
$\pi$ и $e$ это не "фундаментальные константы", а математические объекты: отношение длины евклидовой окружности к ее диаметру и основание натурального логарифма.
"Фундаментальными константами" оперирует физика, например скорость света считается таковой.

Кроме того, $\pi$ и $e$ не совсем существуют, это ведь абстракции и мысленные конструкции.

[age]

Ales
фундаментальными являются константы, если они не зависят от внешних условий и для всех "ИСО" (так сказать, хотя совсем не ИСО, а много шире) - одинаковы.
В то что $c$ является таковой не верят 50% физиков (хотя бы тупо расширение Хаббла этому противоречит). И на то есть основания: СТО - одна из самых спорных и противоречивых теорий, ни по одной из теорий нет столько дебатов, сколько по СТО, в том числе и о том, является ли константой $c$.
Про $\pi$ и $e$ таких дебатов не ведется. Поэтому то, что эти константы фундаментальные (т.е. на них как на фундаменте строится целая система знаний и наук) - не вызывает сомнений ни у кого.

[Ales]

age в сообщении #366282 писал(а):

Поэтому то, что эти константы фундаментальные (т.е. на них как на фундаменте строится целая система знаний и наук) - не вызывает сомнений ни у кого.

"константы фундаментальные" это у физиков.
А математики говорят просто: "числа".

[Droog_Andrey]

Мне вообще отец в 4 года логарифмы объяснил... а про число $e$, производные и пределы я узнал намного позже...

[bot]

(Оффтоп)

Droog_Andrey в сообщении #368263 писал(а):

Мне вообще отец в 4 года логарифмы объяснил... а про число $e$, производные и пределы я узнал намного позже...

Кому было 4 года?

[Vasily]

Вы еще забыли одно интересное представление числа e

$e = \prod \limits _{n=1}^{\infty } \left [ \left (\frac {2n}{2n-1}\right)^{2}{\left ({\frac { 2n^2+n-1}{2n^2+n }}\right)}^{2\,n} \right ]$

Как это можно популярно объяснить?

[Legioner93]

Vasily в сообщении #396478 писал(а):

Вы еще забыли одно интересное представление числа e

$e = \prod \limits _{n=1}^{\infty } \left [ \left (\frac {2n}{2n-1}\right)^{2}{\left ({\frac { 2n^2+n-1}{2n^2+n }}\right)}^{2\,n} \right ]$

Как это можно популярно объяснить?

post347079.html#p347079
Вы, видимо, не до конца ту тему прочитали.

(Оффтоп)

Droog_Andrey в сообщении #368263 писал(а):

Мне вообще отец в 4 года логарифмы объяснил

Низкий поклон вашему отцу

[Doil-byle]

Я не очень понимаю, как можно без пределов ввести число $e$, логарифмы и показательную функцию. Я знаю следущее определение показательной функции. Доказываем сначала, что существует предел: $e^x= \lim_{n \to \infty}{(1+\frac{x}{n})^n}$, для чего нужно доказать монотонность и ограниченность данной последовательности. Потом, пользуясь теорией пределов, доказываем все основные свойства показательной функции для экспоненты. Далее вводим логарифм $\ln(a)$ как решение уравнения $e^x=a$. Существование решения следует из непрерывности экспоненты и второй теоремы Больцано-Коши, единственность - из монотонности. Потом доказываем свойства логарифма. Затем определяем показательную функцию по произвольному вещественному основанию: $a^x= e^{xlna}$.
В хороших физ-мат школах показательную функцию и логарифмы вводят примерно так или через интегралы. Но через интегралы, по-моему, вводить неестественно.

[ewert]

Doil-byle в сообщении #570006 писал(а):

Доказываем сначала, что существует предел: $e^x= \lim_{n \to \infty}{(1+\frac{x}{n})^n}$,

Это не очень приятная исходная точка по двум причинам. Во-первых, общая показательная функция $a^x$ -- объект гораздо более естественный и к тому же давно уже привычный, чем какая-то загадочная (поначалу) $e^x$. Во-вторых, в этом определении совершенно не просматривается непосредственно основное свойство показательной функции $a^{x+y}=a^xa^y$. В общем, как-то это маловысокоидейно.

Я думаю, что гораздо лучше всё-таки действовать в лоб и доопределять общую показательную функцию с рациональных аргументов на вещественные по непрерывности (соображения непрерывности и вообще пределы придётся задействовать, разумеется, при любом подходе).

[Евгений Машеров]

age в сообщении #366212 писал(а):

Меня заботит другой вопрос: почему большинство фундаментальных констант: $\pi$, $e$, $\phi$ - числа иррациональные. И только $0$, $1$ - натуральные. Может система счисления у нас выбрана неверно?

Ну, если взять в качестве основания системы счисления, например, $\pi$, то оно будет записано, как 1. Правда, все остальные так же, как в нашем мире, будут иррациональны.
А ещё появятся замечательные фразы типа "Первые несколько лет брака нас с женой было только 0,63661977236758134307553505349006, и лишь на 1,5915494309189533576888376337251-й год совместной жизни нас стало 0,95492965855137201461330258023509"
Уж извините за графику - сломило придумывать иррациональное число цифр.
Правда, введя избыточность, можно использовать целое. Скажем, основание $\phi$ при цифрах 0 и 1 имеет некоторое техническое применение, в построении АЦП и ЦАП. У него приятное свойство - нет более двух единиц подряд.

[AAE]

Евгений Машеров в сообщении #570091 писал(а):

age в сообщении #366212 писал(а):

Меня заботит другой вопрос: почему большинство фундаментальных констант: $\pi$, $e$, $\phi$ - числа иррациональные. И только $0$, $1$ - натуральные. Может система счисления у нас выбрана неверно?

Ну, если взять в качестве основания системы счисления, например, $\pi$, то оно будет записано, как 1. Правда, все остальные так же, как в нашем мире, будут иррациональны.
А ещё появятся замечательные фразы типа "Первые несколько лет брака нас с женой было только 0,63661977236758134307553505349006, и лишь на 1,5915494309189533576888376337251-й год совместной жизни нас стало 0,95492965855137201461330258023509"
Уж извините за графику - сломило придумывать иррациональное число цифр.
Правда, введя избыточность, можно использовать целое. Скажем, основание $\phi$ при цифрах 0 и 1 имеет некоторое техническое применение, в построении АЦП и ЦАП. У него приятное свойство - нет более двух единиц подряд.

Можно и не $\pi$, а проще - http://www.trinitas.ru/rus/doc/0202/010a/02020028.htm (система Бергмана) с конечным числом цифр для натуральных чисел.

[Евгений Машеров]

Я об этом выше упоминаю. Только использую $\phi$, а у Бергмана $\tau$

[eugrita]

с большим опозданием присоединяюсь к дискуссии.
Теперь в школьную программу ввели пределы производные интегралы.
подведем итоги определений
1)число e такое $(e^x)'=e^x$
2)$e=\lim (1+ \frac{1}{x})^x$
3)\ln x=\int \frac{1}{x}dx $
4)определение juna
1)требует знания производной 2)требует знания "2 замечательного предела" если строго - то даже его вывода, (как уже отмечено)что обычно дается в вузовских курсах матана
3) и 4) требуют знания определенного интеграла. Из них мне больше нравится 3) из-за его простоты. Но тогда получается что интегралы и производные надо определять раньше определения e
По поводу числа $\pi $ меньше хлопот - а оно очень нужно в школе даже для 8 кл. там определение Архимеда как отношение длины дуги полуокружности к радиусу. И вполне элементарно тогда выводится ф-ла
$S= \pi R^2$