Определение числа e

[XpeH]

Да в принципе никак не хочу:). И надеюсь что не придется. Просто я хотел сказать, что записи
\sum\frac{1}{n!} и $ 1+1+\frac {1} {1\cdot 2}+\frac {1} {1\cdot 2\cdot 3}+...+\frac {1} {1\cdot 2\cdot 3...\cdot n}+... равнозначны. Поэтому Алимов и Колягин имели право ввести е таким способом.

[Highwind]

XpeH писал(а):

Да в принципе никак не хочу:). И надеюсь что не придется. Просто я хотел сказать, что записи
\sum\frac{1}{n!} и $ 1+1+\frac {1} {1\cdot 2}+\frac {1} {1\cdot 2\cdot 3}+...+\frac {1} {1\cdot 2\cdot 3...\cdot n}+... равнозначны. Поэтому Алимов и Колягин имели право ввести е таким способом.

Понимаете ли в чем дело. Если так писать, то надо доказать, что ряд в правой части сходится. А без этого такая запись неправомерна, даже если сказать, что это "определение". Определением оно станет тогда, когда ряд сходится. А тут без предела ну никак не обойдешься... Так шо с математической точки зрения енто ересь, типичная для школьного учебника в последнее время... к сожалению.

[XpeH]

незваный гость писал(а):

:evil:

Highwind писал(а):

Если так писать, то надо доказать, что ряд в правой части сходится.

Надо начать еще раньше — что такое ряд. А это — предел последовательности частичных сумм. Без предела нет и ряда.

Предел пос-ти частичных сумм - это сумма ряда( в том случае если ряд сх-ся), если предела не существует или он равен бесконечности - говорят что ряд расходится, но это не значит что его нет. Расходящиеся ряды, кстати, имеют некоторое применение.

Это часть дискурсии, отделенной в тему Определение ряда: что такое ряд и с чем его едят // нг

Highwind писал(а):

Понимаете ли в чем дело. Если так писать, то надо доказать, что ряд в правой части сходится. А без этого такая запись неправомерна, даже если сказать, что это "определение". Определением оно станет тогда, когда ряд сходится. А тут без предела ну никак не обойдешься... Так шо с математической точки зрения енто ересь, типичная для школьного учебника в последнее время... к сожалению.

Да я в принципе не спорю что это очень не строго. Но этим грешат все школьные учебники абсолютно. Просто я хотел упомянуть все способы введения числа е в школе. Кроме того у этого способа есть довольно весомое преимущество, он очень нагляден. Любой школьник может написать элементарную прогу в том же Бейсике, сложить первые n членов данной пос-ти и получить искомое число 2.71418.... Это проще и понятней. Хотя я согласен с Highwind'ом что нестрого. Но на мой(конечно непрофессиональный взгляд) простота и нагядность в школе важнее строгости. Если человек захочет, в дальнейшем он может занятся математикой более глубоко.

[bot]

Кроме известных последовательностей
$x_n=(1+\frac{1}{n})^n, y_n=(1+\frac{1}{n})\cdot x_n $
$ u_n=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+...+\frac{1}{n!}, v_n=u_n + \frac{1}{n \cdot n!}$
(в каждой паре одна возрастающая, другая убывающая)
и рядов, число е можно ещё определить статистически.

Задача несомненно многим известна:
В гости заявилось n человек и все как один в шляпах.
Расползались уже в темноте и шляпы брали наугад. Тогда матожидание полного беспорядка (то есть ни один гость не уполз в своей шляпе) равна $\frac{1}{e}$ с точностью до величины $\frac{1}{n \cdot n!}$

[surfer]

Рассмотрим зависимость между a и k в таком выражении

$$ a^\omega = 1 + k\omega $$

при малых \omega, возводим в степень

$$ i = {z \over \omega } $$

(большое число) и раскрывая скобки в правой части получим

$$ a^z = 1 + {{kz} \over 1} + {{k^2 z^2 } \over {1 \cdot 2}} + {{k^3 z^3 } \over {1 \cdot 2 \cdot 3}} + {{k^4 z^4 } \over {1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}} + и т.д. $$

далее для основания логарифмов берем a для которого k=1 и обозначаем это основание буковой e.

Так вводится число е у Эйлера (Введение в анализ бесконечных, т.1, с 101 и далее, М. Физматлит, 1961г.)

[Dims]

1) На мой взгляд, для изучения логарифмов е не нужно. Лучше изучать десятичные логарифмы. Десятичный логарифм -- это функция, которая отвечает на вопрос, сколько нулей у числа. Для 1, 10, 100 и так далее она будет говорить 0, 1, 2 и т.д. соответственно. Для промежуточных чисел она будет давать какие-то промежуточные ответы.

2) Число е можно определить как такое число, которое при возведении в степень пи, умноженную на мнимую единицу, даёт минус обычную единицу. То есть,

e^{i\pi}=-1

Для такого определения нужно знать число пи и мнимые числа.

На самом деле, это очень странный закон, он связывает между собой все 4 странных числа: е, пи, единицу и мнимую единицу.

[yvanko]

Dims писал(а):

2) Число е можно определить как такое число, которое при возведении в степень пи, умноженную на мнимую единицу, даёт минус обычную единицу. То есть,
e^{i\pi}=-1
Для такого определения нужно знать число пи и мнимые числа.

Таким же свойством обладает, например е^3

[sekhvor]

Я думаю история развивалась так.
ОПРЕДЕЛИЛИ это число по формуле замечательного предела, который получается при решении очень древней задачи. Найти основание степенной функции при котором расстояние пройденное объектом равно скорости.
$w=\lim_n_>_0(1+n)^\frac1n$
Специально поставил не тот символ. Мы только отватили на вопрос - да есть такое число, оно равно...

Но ПОСЧИТАТЬ не смогли. Разумное число получается при n=0.0000001. посчитал в Exсel-е.
А вот посчитали гораздо позже уже через ряды. Гораздо точнее.
Вот в такой исторической постановке вопроса где найти связку, что замечательный предел и ряд, это одно и то же число.

[Ales]

Когда я учился в школе, наша учительница определяла число $e$, как такое число,
что производная $e^x$ в нуле равна единице.
Эквивалентное определение - основание натурального логарифма.
Главное свойство: $\frac{dy}{dx}=y$.
Остальное (в том числе и ряд для нахождения числа) из него следует.
Так что в школе объясняли все как надо.

Десятичные и любые логарифмы можно вводить и до числа $e$, а тем более до пределов, ведь Непер с его таблицами жил раньше Ньютона, Лейбница и Коши.

[ewert]

Ales в сообщении #365878 писал(а):

Так что в школе объясняли все как надо.

Это вряд ли. Конечно, такое определение -- наиболее естественно, но при этом нужно ещё доказать, что тот предел существует, а это -- не такое простое дело. Сильно вряд ли, что учительница этим занималась, и, соотв., она некорректна (хотя по существу и правильна).

[Ales]

ewert в сообщении #365942 писал(а):

Ales в сообщении #365878 писал(а):

Так что в школе объясняли все как надо.

Это вряд ли. Конечно, такое определение -- наиболее естественно, но при этом нужно ещё доказать, что тот предел существует, а это -- не такое простое дело. Сильно вряд ли, что учительница этим занималась, и, соотв., она некорректна (хотя по существу и правильна).

Она строила график показательной функции $a^x$ и говорила, что при варьировании $a$ в силу непрерывности есть промежуточное значение , при котором график имеет касательную в точке (0,1) с тангенсом наклона равным 1.
Достаточно строго для школьников и для 17-19 века.

Существование касательной не подвергалось сомнению.

[Ales]

Первые логарифмические таблицы появились в начале 17 века.
Интересно как же их получили без методов анализа бесконечно малых?

[age]

Меня заботит другой вопрос: почему большинство фундаментальных констант: $\pi$, $e$, $\phi$ - числа иррациональные. И только $0$, $1$ - натуральные. Может система счисления у нас выбрана неверно?

[ewert]

(Оффтоп)

Почему только 0 и 1. Двойка, к примеру -- тоже весьма фундаментальна. Она довольно часто на экзаменах встречается.

[venco]

age в сообщении #366212 писал(а):

Может система счисления у нас выбрана неверно?

Как система счисления может повлиять на рациональность?