Ряд Маклорена с нулевым радиусом сходимости

[xilyt]

Пусть задан степенной ряд \sum_{n=0}^\infty c_n x^n с нулевым радиусом сходимости. При каком условии этот ряд будет рядом Маклорена некоторой функции? Как ни странно, ответ "ни при каком" неверен, поскольку известен пример функции, ряд Маклорена которой сходится только в нуле (http://books.google.com/books?id=cDAMh5n4lkkC&pg=PA68, пункт 24). Интересует также способ вычисления значений функции, заданной таким рядом.

[ИСН]

Всегда будет.

[xilyt]

Спасибо, жду ответа на вторую часть вопроса.

[ИСН]

Вычисления где? В нашей точке? - очевидно, речь не о том. В одном нанометре от нашей точки? - а там она уже не обязана существовать.

[xilyt]

Но она же обязана существовать в некоторой окрестности нуля? Там-то и нужно находить ее значения.

[ИСН]

Да, но в какой некоторой?

[ewert]

xilyt в сообщении #365502 писал(а):

с нулевым радиусом сходимости. При каком условии этот ряд будет рядом Маклорена некоторой функции?

Для ряда Маклорена понятие "нулевого радиуса сходимости" бессмысленно. Ну т.е. попросту не имеет никакого смыслу.

[ИСН]

да ладно

[xilyt]

ИСН
В какой угодно. Буду рад любому универсальному методу суммирования, который работает в некоторой (пусть сколь угодно малой, неизвестной заранее и зависящей от ряда) окрестности нуля. Хотя что-то мне подсказывает, что его может вообще не существовать.

ewert
То есть и в книжке по ссылке чушь написали?

[ИСН]

Книжку я не читал (если она совпадает с тем, что я и так знаю, то бесполезна, а если нет, то вредна), а с суммированием дела обстоят так.
Ряды на действительной прямой - штука лукавая и неверная. Вот функция: $e^{-{1\over x^2}}$, ну, знаете такую. Все производные нули. Одни нули! Что тут суммировать? Какую Вы хотите из них вытащить информацию? Какую окрестность? Как узнать, может, некий злобный идиот уже умножил её на $1\over 1-x$ и за единицей земля для нас кончается? (Нули от этого не поменялись.) Может, на $1\over 1-100500x$? Может, на что ещё похуже?
Ах да, чтобы ряд не сходился, можете прибавить к этой функции ту, у которой он не сходится. Это всё мелочи.

[paha]

ИСН в сообщении #365530 писал(а):

Вот функция: $e^{-{1\over x^2}}$

формально радиус сходимости тут равен бесконечности

[xilyt]

ИСН
Неоднозначность такого задания функции мне была известна. Но вдруг все-таки есть волшебный универсальный метод суммирования, который среди всех возможных функций, удовлетворяющих условию, выберет единственную верную с точки зрения этого метода? Ну или не очень универсальный, но чтобы работал хотя бы при c_n = n!.

[ИСН]

Методов обобщённого суммирования - ВНЕЗАПНО - тысячи их! Смотреть "метод Чезаро" и дальше по ссылкам и по аналогии. Это вечное противостояние, "щит и меч": можно придумать метод, чтобы и факториальный ряд сходился. Потом - придумать ряд, который и по этому методу расходится. И метод на тот ряд. И ряд на тот метод. И так без конца.

-- Вс, 2010-10-24, 02:46 --

да, ситуация в точности как вот тут: topic32761.html

[Padawan]

Если ряд Маклорена некоторой функции имеет нулевой радиус сходимости, то он, тем не менее, является асимптотическим разложением этой функции. Поэтому его можно использовать, например, для вычисления пределов. Также его можно использовать для приближенного вычисления значений функции при маленьких $x$, но для этого требуется находить остаточный член, и уже нужна дополнительная информация о поведении функции в окрестности нуля.