Буквоедтсво. Отношения, функции и множества

[caxap]

Буквоедство у меня в крови, извините

1) Почему принято, что $\leqslant$, $=$ и т. д. являются отношениями, а не функции. Т. е. почему принято, что $a\leqslant b \iff (a,b)\in\,\leqslant$, а не просто считать, что $\leqslant\colon X^2\to\mathbb B$ ($\mathbb B=\{\text{Правда},\text{Ложь}\}$).

2) Правильно ли я понимаю, что запись типа $\sum\limits_{P(k)} 5k^2$ по сути применение функции $\sum: \mathcal P(\mathbb Z)\to \mathbb R$, т. е. это специальная форма записи для $\sum (\{5k^2\mid k\in \mathbb Z \land P(k)\})$)?

3) В хаскеле встречаются вещи типа

divisors :: Int -> [Int]

Т. е. divisors -- это функция, отображающая целое число в список (целых) делителей (кортеж в математике). Как это записать в математической нотации? Так: $\mathrm{divisors}\colon \mathbb Z\to\bigcup_{k=1}^{\infty} \mathbb Z^k$?

[Dan B-Yallay]

caxap в сообщении #364926 писал(а):

Буквоедство у меня в крови, извините

1) Почему принято, что $\leqslant$, $=$ и т. д. являются отношениями, а не функции. Т. е. почему принято, что $a\leqslant b \iff (a,b)\in\,\leqslant$, а не просто считать, что $\leqslant\colon X^2\to\mathbb B$ ($\mathbb B=\{\text{Правда},\text{Ложь}\}$).

Вы знаете чем определение функции отличается от определения отношения? Так принято писать для сокращения. Сравните сами.

Цитата:

2) Правильно ли я понимаю, что запись типа $\sum\limits_{P(k)} 5k^2$ по сути применение функции $\sum: \mathcal P(\mathbb Z)\to \mathbb R$, т. е. это специальная форма записи для $\sum (\{5k^2\mid k\in \mathbb Z \land P(k)\})$)?

Эта запись означает суммирование $5k^2$ для всех $k$ имеющих свойство $P$.
Поэтому $\sum: \mathcal P(\mathbb Z)\to \mathbb B$,$\mathbb B=\{\text{Правда},\text{Ложь}\}$

[Xaositect]

Цитата:

2) Правильно ли я понимаю, что запись типа $\sum\limits_{P(k)} 5k^2$ по сути применение функции $\sum: \mathcal P(\mathbb Z)\to \mathbb R$, т. е. это специальная форма записи для $\sum (\{5k^2\mid k\in \mathbb Z \land P(k)\})$)?

Операция суммирования определяется не для бесконечных множеств, а для рядов (вспомните про перестановку членов в условно сходящемся ряде), так что если уж буквоедствовать, то $\sum\colon\bigcup_{\iota \leq \omega} \mathbb{R}^{\iota}\to\mathbb{R}$

Цитата:

3) В хаскеле встречаются вещи типа

divisors :: Int -> [Int]

Т. е. divisors -- это функция, отображающая целое число в список (целых) делителей (кортеж в математике). Как это записать в математической нотации? Так: $\mathrm{divisors}\colon \mathbb Z\to\bigcup_{k=1}^{\infty} \mathbb Z^k$?

Ну можно и так. Правда, тип списка - это все-таки скорее алгебраическая структура, чем просто $\bigcup_{k=0}^{\infty} \mathbb Z^k$, но в данном случае это несущественно.

[caxap]

(Dan B-Yallay)

Dan B-Yallay в сообщении #364931 писал(а):

Вы знаете чем определение функции отличается от определения отношения?

Я знаю, что функция -- тоже отношение. Но если записать в виде отношения функцию $\leqslant$ (заданной на множестве $X$), то получится некоторое подмножество $X^2\times \mathbb B$. А принято считать $\leqslant$ просто подмножеством $X^2$. Я понимаю, что существует биекция, но просто нигде не видел, чтобы отношения $\leqslant$, $=$, $\subset$ и др. называли функциями.

Dan B-Yallay в сообщении #364931 писал(а):

Поэтому $\sum: \mathcal P(\mathbb Z)\to \mathbb B$

Xaositect
Ясно, спасибо.

[moscwicz]

caxap в сообщении #364926 писал(а):

Почему принято, что $\leqslant$, $=$ и т. д. являются отношениями, а не функции. Т. е. почему принято, что $a\leqslant b \iff (a,b)\in\,\leqslant$, а не просто считать, что $\leqslant\colon X^2\to\mathbb B$ ($\mathbb B=\{\text{Правда},\text{Ложь}\}$).

потому, например, что для бинарных отношений можно определить операцию композиции, которая обобщает операцию композиции функций и тоже является ассоциативной, а при таком определении вы выхолащиваете эту возможность

[ewert]

caxap в сообщении #364926 писал(а):

почему принято, что $a\leqslant b \iff (a,b)\in\,\leqslant$, а не просто считать, что $\leqslant\colon X^2\to\mathbb B$

Это одно и то же. Подмножество -- это ровно и есть отображение множества в двухэлементное. Но первое звучит проще.

[caxap]

Ещё вопрос о связи хаскелловой нотации с математической: вот дифференциал можно в нотации а-ля Хаскель записать так: Hack attempt! (первый аргумент -- функция, затем точка и приращение аргумента, т.е. $df(x)(h)$). А как такое записать в математике? Так: Hack attempt!? Но ведь в первом случае функция $d$ каррированная (принимает аргументы "по одному", напр. $df(x):\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ -- функция от одного аргумента, полученная частичным применением первых двух аргументов: $f$ и $x$), а во втором случае -- некаррированная (принимает аргументы сразу, кортежем $(f,x,h)$).

Я понимаю, что существует изоморфизм между каррированными и некаррированными функциями, но всё же (по-моему) это разные вещи по сути. Наверное и способы записи их "типа" тоже должны отличаться.

(Хотелось бы услышать ответы Xaositect, paha.)

-- 15 дек 2010, 18:58 --

Почему в математике не принято $X\to Y$ считать множеством всех функций из $X$ и $Y$? Тогда бы обе формы записи были бы корректные, причём первая бы указывала на кар., а вторая не некар. вариант.

[Xaositect]

Если изоморфизм настолько естественный, как в этом случае, то можно не париться и считать изоморфные объекты одинаковыми.
Ну и я бы написал $C_1^m[M]\to {Hom(R_n, R_m)}^M$.($M$ - это множество, на котором определена функция). Дифференциал же определен только для дифференцируемых функций, и является не просто функцией, а линейным оператором. Ну то есть я вообще не стал бы такие страшные вещи писать, но если уж буквоедствовать, то пусть хоть какой-то смысл будет.