Периодическое продолжение параболы на ось абсцисс

[Dext]

Помогите разобраться

Пусть функция задана на отрезке $x\in[0,l]$ и имеет форму параболы с нулевыми значениями на концах отрезка и максимальным значением $h$ в середине отрезка \[x=\frac{l}{2}\[. Продолжить данную функцию периодически на всей оси абсцисс.

На отрезке $x\in[0,l]$, очевидно, это будет функция $y=lx-x^2,~l>0$.

Как правильно записать эту функцию на всей оси абсцисс?

Так \[y=l(x-lk)-(x-lk)^2,~x\in\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}[kl,(k+1)l],~l\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\ ?

[mad_math]

вы забыли про наивысшую точку. ваша парабола имеет уравнение $h-(x-\frac{l}{2})^2$ или, учитывая, что она проходит через точки (0;0) и (0;l) $\frac{l^2}{4}-(x-\frac{l}{2})^2$. тогда, по правилам сдвига вдоль оси Ох, следующая парабола будет иметь уравнение $\frac{l^2}{4}-(x-\frac{l}{2}-l)^2$, обобщая получим уравнение $\frac{l^2}{4}-(x-(\frac{l}{2}+kl))^2$.

[Dext]

mad_math в сообщении #363700 писал(а):

вы забыли про наивысшую точку. ваша парабола имеет уравнение $h-(x-\frac{l}{2})^2$

Так эта же парабола не имеет нулевых значений на концах отрезка [0,l].

Наивысшая точка $h$ выражается через $l$, или я не прав?

[mad_math]

Dext в сообщении #363707 писал(а):

mad_math в сообщении #363700 писал(а):

вы забыли про наивысшую точку. ваша парабола имеет уравнение $h-(x-\frac{l}{2})^2$

Наивысшая точка $h$ выражается через $l$, или я не прав?

да, и я дальше об этом написала

[Dext]

Спасибо.

Так это то же самое, что и меня

Вопрос в том, как правильней (формальней) записать эту функцию??

[mad_math]

при k=0 и k=1 они похожи, а вот начиная с k=2 разница есть.

[Dext]

Ну нет в них разницы ни при каких $k$

\[\frac{l^2}{4}-\left(x -\left(\frac{l}{2}+kl\right)\right)^2=\frac{l^2}{4}-\left(x-kl-\frac{l}{2}\right)^2=\[

\[=\frac{l^2}{4}-\left((x-kl)^2-l(x-kl)+\frac{l^2}{4}\right)=l(x-kl)-(x-kl)^2.\[

[mad_math]

ну значит всё нормально я просто по-другому скобки раскрывала. как записали, так и оставьте.

-- Вт окт 19, 2010 20:27:17 --

единственное только может лучше написать $x\in[kl,(k+1)l], k\in\mathbb{Z}$ без объединения, т.е. для различных $k$ - различные отрезки.

[ewert]

Dext в сообщении #363713 писал(а):

Вопрос в том, как правильней (формальней) записать эту функцию??

Как $\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}4h\cdot(x-k)(1-x+k)\cdot\eta(x-k)\cdot\eta(1-x+k)$.

Или как $\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}4h\cdot(x-k)(1-x+k)\cdot(\eta(1-x+k)-\eta(x-k))$.

Но это глупо (т.е. не очень понятно, зачем это может понадобиться). Разумное описание: $f(x)=4hx(1-x)$ при $x\in[0;1]$, а дальше продолжается по периодичности.

[Dext]

ewert в сообщении #363809 писал(а):

Dext в сообщении #363713 писал(а):

Вопрос в том, как правильней (формальней) записать эту функцию??

Но это глупо (т.е. не очень понятно, зачем это может понадобиться). Разумное описание: $f(x)=4hx(1-x)$ при $x\in[0;1]$, а дальше продолжается по периодичности.

Конечно, спасибо, но я не понял, почему у Вас получилось такое уравнение

Максимум функции $f(x)=4hx(1-x)$ равен $h$ при \[x=\frac{l}{2}\[???

И, вообще, почему Вы рассматриваете отрезок [0;1]?

-- Ср окт 20, 2010 14:50:51 --

Пожалуйста, помогите кто-нибудь разобраться!

[Null]

$f(x)=\frac{4h}{l^2}x(l-x)$ на $(0;l)$