2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Периодическое продолжение параболы на ось абсцисс
Сообщение19.10.2010, 19:56 
Аватара пользователя


28/07/10
124
Помогите разобраться :D

Пусть функция задана на отрезке $x\in[0,l]$ и имеет форму параболы с нулевыми значениями на концах отрезка и максимальным значением $h$ в середине отрезка \[x=\frac{l}{2}\[. Продолжить данную функцию периодически на всей оси абсцисс.

На отрезке $x\in[0,l]$, очевидно, это будет функция $y=lx-x^2,~l>0$.

Как правильно записать эту функцию на всей оси абсцисс?

Так \[y=l(x-lk)-(x-lk)^2,~x\in\bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}[kl,(k+1)l],~l\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодическое продолжение параболы на ось абсцисс
Сообщение19.10.2010, 20:16 


04/01/10
38
вы забыли про наивысшую точку. ваша парабола имеет уравнение $h-(x-\frac{l}{2})^2$ или, учитывая, что она проходит через точки (0;0) и (0;l) $\frac{l^2}{4}-(x-\frac{l}{2})^2$. тогда, по правилам сдвига вдоль оси Ох, следующая парабола будет иметь уравнение $\frac{l^2}{4}-(x-\frac{l}{2}-l)^2$, обобщая получим уравнение $\frac{l^2}{4}-(x-(\frac{l}{2}+kl))^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодическое продолжение параболы на ось абсцисс
Сообщение19.10.2010, 20:26 
Аватара пользователя


28/07/10
124
mad_math в сообщении #363700 писал(а):
вы забыли про наивысшую точку. ваша парабола имеет уравнение $h-(x-\frac{l}{2})^2$

Так эта же парабола не имеет нулевых значений на концах отрезка [0,l].

Наивысшая точка $h$ выражается через $l$, или я не прав?

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодическое продолжение параболы на ось абсцисс
Сообщение19.10.2010, 20:35 


04/01/10
38
Dext в сообщении #363707 писал(а):
mad_math в сообщении #363700 писал(а):
вы забыли про наивысшую точку. ваша парабола имеет уравнение $h-(x-\frac{l}{2})^2$


Наивысшая точка $h$ выражается через $l$, или я не прав?

да, и я дальше об этом написала

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодическое продолжение параболы на ось абсцисс
Сообщение19.10.2010, 20:42 
Аватара пользователя


28/07/10
124
Спасибо.

Так это то же самое, что и меня :-)

Вопрос в том, как правильней (формальней) записать эту функцию??

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодическое продолжение параболы на ось абсцисс
Сообщение19.10.2010, 20:48 


04/01/10
38
при k=0 и k=1 они похожи, а вот начиная с k=2 разница есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодическое продолжение параболы на ось абсцисс
Сообщение19.10.2010, 20:59 
Аватара пользователя


28/07/10
124
Ну нет в них разницы ни при каких $k$

\[\frac{l^2}{4}-\left(x -\left(\frac{l}{2}+kl\right)\right)^2=\frac{l^2}{4}-\left(x-kl-\frac{l}{2}\right)^2=\[

\[=\frac{l^2}{4}-\left((x-kl)^2-l(x-kl)+\frac{l^2}{4}\right)=l(x-kl)-(x-kl)^2.\[

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодическое продолжение параболы на ось абсцисс
Сообщение19.10.2010, 21:04 


04/01/10
38
ну значит всё нормально :-) я просто по-другому скобки раскрывала. как записали, так и оставьте.

-- Вт окт 19, 2010 20:27:17 --

единственное только может лучше написать $x\in[kl,(k+1)l], k\in\mathbb{Z}$ без объединения, т.е. для различных $k$ - различные отрезки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодическое продолжение параболы на ось абсцисс
Сообщение20.10.2010, 08:23 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Dext в сообщении #363713 писал(а):
Вопрос в том, как правильней (формальней) записать эту функцию??

Как $\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}4h\cdot(x-k)(1-x+k)\cdot\eta(x-k)\cdot\eta(1-x+k)$.

Или как $\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}4h\cdot(x-k)(1-x+k)\cdot(\eta(1-x+k)-\eta(x-k))$.

Но это глупо (т.е. не очень понятно, зачем это может понадобиться). Разумное описание: $f(x)=4hx(1-x)$ при $x\in[0;1]$, а дальше продолжается по периодичности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодическое продолжение параболы на ось абсцисс
Сообщение20.10.2010, 13:26 
Аватара пользователя


28/07/10
124
ewert в сообщении #363809 писал(а):
Dext в сообщении #363713 писал(а):
Вопрос в том, как правильней (формальней) записать эту функцию??

Но это глупо (т.е. не очень понятно, зачем это может понадобиться). Разумное описание: $f(x)=4hx(1-x)$ при $x\in[0;1]$, а дальше продолжается по периодичности.


Конечно, спасибо, но я не понял, почему у Вас получилось такое уравнение :|

Максимум функции $f(x)=4hx(1-x)$ равен $h$ при \[x=\frac{l}{2}\[???

И, вообще, почему Вы рассматриваете отрезок [0;1]?

-- Ср окт 20, 2010 14:50:51 --

Пожалуйста, помогите кто-нибудь разобраться!

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодическое продолжение параболы на ось абсцисс
Сообщение20.10.2010, 13:56 
Заслуженный участник


12/08/10
1718
$f(x)=\frac{4h}{l^2}x(l-x)$ на $(0;l)$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Bing [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group