Абстрактная Алгебра (группы)

[Dan B-Yallay]

Подскажите пожалуйста идею как доказать следующее:

1) Дана конечная р-группа $G$, и $H \leq G$ - нетривиальная нормальная подгруппа.
Показать что $H \cap Z(G) \ne 1$

2) $P$ является р- Силовской подгруппой в $G$ Показать что

$N_G (N_G(P)) = N_G(P)$

Ссылками на другие книги воспользоваться не смогу - не успею найти и прочитать.

Спасибо заранее

[Руст]

Dan B-Yallay писал(а):

Подскажите пожалуйста идею как доказать следующее:

1) Дана конечная р-группа $G$, и $H \leq G$ - нетривиальная нормальная подгруппа.
Показать что $H \cap Z(G) \ne 1$

2) $P$ является р- Силовской подгруппой в $G$ Показать что

$N_G (N_G(P)) = N_G(P)$

Ссылками на другие книги воспользоваться не смогу - не успею найти и прочитать.

Спасибо заранее

1) Рассотрите действие группы G на H по формуле: $g^{-1]hg$ и разложите H на сумму орбит по этому действию. Здеь существенно, что G p-группа.
2) Это действие применимо и для доказательства этой части.

[Dan B-Yallay]

Не совсем ясно.
В результате действия группы G на H последняя раскладывается на неподвижные "стабильные" элементы и те, что имеют орбиту более чем один элемент. Количество и тех и других делится на р.
Кроме этого, центр группы G тоже содержит более одного элемента
А что дальше ?

Со второй задачей то же самое. То есть не доходит до меня...

Если решение недлинное, можете выложить?

[RIP]

1)Неподвижные стабильные элементы - это как раз элементы центра G

[Dan B-Yallay]

Понял, спасибо.
А что со второй задачкой...