Про неравенство от Аркадия

[Sasha2]

Вот недавно уважаемый Аркадий предложил на рассмотрение следующее неравенство:

$$\sqrt{\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}}+\sqrt{\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}}+\sqrt{\frac{c^3}{a^2+ac+c^2}}\geq\frac{\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c}{\sqrt3}$$

, указав, что у него должно быть красивое док-во, но вот сам он приводит сложное, длинное и (ну это на мой взгляд) не очень то красивое док-во (http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 0#p2028640).
Многие выклатки мне непонятны, ну это вообщем можно отнести на мою тупость. Но все же, а как могло бы выглядеть красивое док-во этого неравенства

Прежде всего в режиме легкого упражнения показываем, что $\sqrt{a^2+b^2+ab} \le \sqrt{3}(a+b-\sqrt{ab})$.
Доказывается это путем тривиального возведения обеих частей в квадрат с последующим получением вот такого эквивалентного представления:
$$(a+b-2\sqrt{ab})(a+b-\sqrt{ab}) \ge 0$, что очевидно верно.
Тогда для док-ва исходного неравенства достаточно доказать вот такое неравенство:
$\frac{\sqrt{a^3}}{a+b-\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{b^3}}{b+c-\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{c^3}}{a+c-\sqrt{ac}} \ge \sqrt a+\sqrt b+\sqrt c$$

Согласно AM-GM имеем $\frac{\sqrt{a^3}}{a+b-\sqrt{ab}}+2\sqrt{a+b-\sqrt{ab}} \ge 3\sqrt{a}$.

И после записи еще двух аналогичных неравенств для других двух членов этого нер-ва, получаем, следующее верное неравенство:

$LHS+2(\sqrt{a+b-\sqrt{ab}}+\sqrt{b+c-\sqrt{bc}}+\sqrt{a+c-\sqrt{ac}} \ge 3(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$

И теперь нам остается показать, что

$$3(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) - 2(\sqrt{a+b-\sqrt{ab}}+\sqrt{b+c-\sqrt{bc}}+\sqrt{a+c-\sqrt{ac}}) \ge \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$$

То есть мы должны доказать справедливость неравенства:
$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \ge \sqrt{a+b-\sqrt{ab}}+\sqrt{b+c-\sqrt{bc}}+\sqrt{a+c-\sqrt{ac}}$.

Но на этом вся красота и заканчивается. Мне вообще почему то кажется, что это неравенство неверное.
Но могло бы быть действительно красиво.

[Edward_Tur]

Цитата:

Тогда для док-ва исходного неравенства достаточно доказать вот такое неравенство:
$\frac{\sqrt{a^3}}{a+b-\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{b^3}}{b+c-\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{c^3}}{a+c-\sqrt{ac}} \ge \sqrt a+\sqrt b+\sqrt c$$

Это неравенство неверно. Например, для $a=1,b=4,c=9$ левая часть равна $5.3333$, а правая $6$.

[Sasha2]

А вот мне тоже интересно узнать еще следующее:
Имеет ли право человек работать школьным учителем математики (старшие классы), если он не решает вот такие неравенства от Аркадия как орешки? Или же, если этот человек не умеет так решать эти неравенства, значит ему не следует работать школьным учителем математики?

[MrDindows]

Я уверен, что 95% школьных учителей математики не смогут решить это задание.

Но в этом нет ничего плохого...так как для школьного учителя главное НАУЧИТЬ ребёнка ШКОЛЬНОЙ программе, а это - олимпиадный уровень, более того, как по мне, довольно высокий.

Другой случай - специализированные школы с уклоном в физ-мат, где как-раз много детей готовят на олимпиадный уровень. Там уже, желательно, чтоб и учитель имел знания (мозги) такого уровня...

[Sasha2]

Решая одно из неравенств, предложенных уважаемым Аркадием, пришел к такому:

$(a+b+c)^4 \ge 9(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ac)$

Пока не получается его не доказать, ни опровергнуть.

[mihiv]

Если взять a=b и c=0,то неравенство не выполняется.