Вот недавно уважаемый Аркадий предложил на рассмотрение следующее неравенство:

, указав, что у него должно быть красивое док-во, но вот сам он приводит сложное, длинное и (ну это на мой взгляд) не очень то красивое док-во (
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 0#p2028640).
Многие выклатки мне непонятны, ну это вообщем можно отнести на мою тупость. Но все же, а как могло бы выглядеть красивое док-во этого неравенства
Прежде всего в режиме легкого упражнения показываем, что

.
Доказывается это путем тривиального возведения обеих частей в квадрат с последующим получением вот такого эквивалентного представления:

, что очевидно верно.
Тогда для док-ва исходного неравенства достаточно доказать вот такое неравенство:

Согласно AM-GM имеем

.
И после записи еще двух аналогичных неравенств для других двух членов этого нер-ва, получаем, следующее верное неравенство:

И теперь нам остается показать, что

То есть мы должны доказать справедливость неравенства:

.
Но на этом вся красота и заканчивается. Мне вообще почему то кажется, что это неравенство неверное.
Но могло бы быть действительно красиво.