Сферическая система координат содержит не периодический угол

изменяющийся на интервале
![$[0,\pi]$ $[0,\pi]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/8/2385bc03c71e0b4fd8db3bac2e36c7f282.png)
. При этом при вычислении сферической или шаровой функции возникает степень косинуса и синуса от этого аргумента. При этом имеем, например при возведении в третью степень

, т.е. получается угол

, выходящий из области определения
![$[0,\pi]$ $[0,\pi]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/8/2385bc03c71e0b4fd8db3bac2e36c7f282.png)
. Если продолжить область определения, то получаем противоречие, так углы

соответствуют одному конусу, и являются эквивалентными. Но взяв

, от этих углов получим разные значения. Можно конечно ограничиться функцией

, где

изменяется в пределах
![$[0,\pi]$ $[0,\pi]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/8/2385bc03c71e0b4fd8db3bac2e36c7f282.png)
, но как быть с формулой

, к которой сводится степень косинуса, какой смысл она имеет. Все это говорит о противоречивости сферической системы координат и необходимости ее замены. Альтернатива есть.