Недостатки сферической системы координат

[evgeniy]

Сферическая система координат содержит не периодический угол $\theta$ изменяющийся на интервале $[0,\pi]$. При этом при вычислении сферической или шаровой функции возникает степень косинуса и синуса от этого аргумента. При этом имеем, например при возведении в третью степень $cos^3\theta=(3cos\theta+cos3\theta)/4$, т.е. получается угол $3\theta$, выходящий из области определения $[0,\pi]$. Если продолжить область определения, то получаем противоречие, так углы $\pi-\pi/(3n),\pi+\pi/(3n)$соответствуют одному конусу, и являются эквивалентными. Но взяв $exp(in\theta)$, от этих углов получим разные значения. Можно конечно ограничиться функцией $cos^n\theta$, где $\theta $изменяется в пределах $[0,\pi]$, но как быть с формулой $cosn\theta$, к которой сводится степень косинуса, какой смысл она имеет. Все это говорит о противоречивости сферической системы координат и необходимости ее замены. Альтернатива есть.

[myhand]

evgeniy в сообщении #363616 писал(а):

Сферическая система координат содержит не периодический угол $\theta$ изменяющийся на интервале $[0,\pi]$.

Есть такое.

evgeniy в сообщении #363616 писал(а):

При этом имеем, например при возведении в третью степень $cos^3\theta=(3cos\theta+cos3\theta)/4$, т.е. получается угол $3\theta$, выходящий из области определения $[0,\pi]$.

Простите, как у Вас получилось так, что область определения этого тождества справа - одна, а слева - другая. Или обрасть определения куба косинуса ВНЕЗАПНО стала отличаться от $[0,\pi]$?

evgeniy в сообщении #363616 писал(а):

Если продолжить область определения, то получаем противоречие

Получаем не "противоречие", а глупость. Связанную с тем, что ничего продолжать не надо - неужели это не очевидно?

evgeniy в сообщении #363616 писал(а):

Все это говорит о противоречивости сферической системы координат и необходимости ее замены. Альтернатива есть.

Альтернатива должно быть - тот еще анекдот, покруче ;)

[evgeniy]

Получается аргумент у функции угол $3\theta$, т.е. надо вычислить функцию с углом $3\theta$, это область определения функции cos. При этом аргумент у cos ограничен интервалом $[0,\pi]$, большего угла в этой системе координат нет, угол в сферической системе координат ограничен значением $[0,\pi]$.

[venco]

evgeniy в сообщении #363651 писал(а):

При этом аргумент у cos ограничен интервалом $[0,\pi]$

У функции $\cos$ область определения не ограничена.

[myhand]

evgeniy в сообщении #363651 писал(а):

Получается аргумент у функции угол $3\theta$, т.е. надо вычислить функцию с углом $3\theta$, это область определения функции cos.

"Получается", что кому-то нужно хорошенько вспомнить школьный материал. AFAIK про область определения/значений рассказывают эдак в классе 7-ом.

Пожалуйста, не переживайте из-за того, что для тождества, рассматриваемого на $\theta \in [0,\pi]$ вы вынуждены справа вычислять $\cos$ с аргументом, в общем случае $3\theta > \pi$. Смысл очень простой: если Вы "не умеете" вычислять $\cos$ для произвольного действительного аргумента - это тождество просто теряет смысл.

И давайте в следующий раз - подобное в математические разделы. Все-таки к физике все это отношения не имеет.

[evgeniy]

Это чисто физический вопрос, ведь если сферическая система координат содержит противоречия из-за не периодичности угла $\theta$, то летят и все построения, основанные на сферической системе координат. В частности многие решения квантовой механики, электродинамики. Я построил периодические ортогональные углы свободные от этого недостатка. Конечно заявка глобальная, но на то и существуют форумы, чтобы на них выяснять истину.

[myhand]

Нет там никакой физики - элементарная геометрия и матанализ, причем уровня средней школы.

[12d3]

myhand в сообщении #363663 писал(а):

Смысл очень простой: если Вы "не умеете" вычислять $\cos$ для произвольного действительного аргумента - это тождество просто теряет смысл.

Я тут вообще не понял, почему мы это не умеем делать. У нас $\theta \in [0;\pi]$, а косинус ничем не ограничен, мы вполне себе можем посчитать косинус от произвольного числа. Что нам мешает вычислить $\cos{3 \theta}$ ?

[myhand]

12d3 в сообщении #363762 писал(а):

myhand в сообщении #363663 писал(а):

Смысл очень простой: если Вы "не умеете" вычислять $\cos$ для произвольного действительного аргумента - это тождество просто теряет смысл.

Я тут вообще не понял, почему мы это не умеем делать. У нас $\theta \in [0;\pi]$, а косинус ничем не ограничен, мы вполне себе можем посчитать косинус от произвольного числа. Что нам мешает вычислить $\cos{3 \theta}$ ?

"Мы" вполне можем. Я разве утверждал обратное? Наоборот, подчеркнул, что самое это тождество требует, чтобы мы "умели" это делать (т.е. $\cos$ был определен для произвольного действительного числа).

Автор топика путает область определения с диапазонами аргументов, которые у него справа (в тождестве) в разных косинусах. Нужно сильно мозг вывихнуть, чтобы понять в чем углядели "проблему" :) Так что не расстраивайтесь - если у Вас не получилось.

[timots]

Несмотря на ошибки evgeniy я согласен с ним, что законы сферической геометрии, как и геометрии Лобачевского имеют отношения к физике. И связь между геометриями возможна не только через придельный переход, но и через тождество и элементарную алгебру. Это дает возможность соотношения в таких геометриях рассматривать как равноправные.

(Оффтоп)

Надо бы отправить Бога изучать финслерову геометрию.

[ewert]

(Оффтоп)

timots в сообщении #364051 писал(а):

не только через придельный переход, <...> Надо бы отправить Бога

Боюсь, что это совпадение не случайно.

[timots]

(Оффтоп)

У меня появился собственный корректор. Или опять что-то ни так?

[PapaKarlo]

(Оффтоп)

timots в сообщении #364307 писал(а):

timots в сообщении #364051 писал(а):

не только через придельный переход, ... Надо бы отправить Бога

Или опять что-то ни так?

Может быть, из-за этого?

[evgeniy]

Аргумент у cos это в частности угол сферической системы координат, а он определен в сферической системе координат только на отрезке $[0,\pi]$. Если продолжить определение угла за эти пределы, то возникает противоречие. Я столкнулся с этим, когда стал строить ряд решение $\sum_n a_n cos(n\theta)$, где угол $\theta $сферический угол. Такой ряд нельзя строить, так же как и использовать $cos^n\theta$. Величина угла $\theta$ не периодическая.

[myhand]

evgeniy в сообщении #364967 писал(а):

Если продолжить определение угла за эти пределы, то возникает противоречие.

Вам объяснили, что никакого противоречия нет. Что конкретно из объяснений Вы не поняли?

Если "все" - то Вам уже объяснили что с этим делать. Идти читать школьные учебники, это материал именно такого уровня.