Вводим обозначение

и подставляем в уравнение Дирака. Тут я ничего не придумал, это есть в квантовой электродинамике ЛЛ. Далее умножаем

на величину

. Гравитационный радиус при разноименных зарядах отрицателен.
По поводу описания многих частиц. Это получается автоматически. Уравнения ОТО зависят от точки в которой рассматривается поле и вычисляется тензор энергии импульса. Значит, умножая в каждой точке пространства на предлагаемый множитель получим уравнение ОТО в одной точке. Причем это справедливо для каждой точки.
Оценим члены, определяющие величину силы торможения излучением в релятивистском случае. Они равны
![$\frac{2e^2}{3c}[{\frac{e}{mc^2}\frac{\partial F^{ik}}{\partial x^l}u_k u^l-\frac{e^2}{m^2c^4}F^{il}F^{kl}u^k+\frac{e^2}{m^2c^4}(F_{kl}u^l)(F^{km}u_m)u^i}]$ $\frac{2e^2}{3c}[{\frac{e}{mc^2}\frac{\partial F^{ik}}{\partial x^l}u_k u^l-\frac{e^2}{m^2c^4}F^{il}F^{kl}u^k+\frac{e^2}{m^2c^4}(F_{kl}u^l)(F^{km}u_m)u^i}]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/0/cd0b437e8f81007d452406ee9a3cd7b682.png)
при скорости частиц близкой к скорости света ЛЛ выделяет последний член, как имеющий наименьший знаменатель, остальными членами пренебрегает. Но дело в том, что первый член умножается на существенно больший коэффициент, чем третий член. Докажем это, для чего выпишем первый и третий член. Введем радиус частицы, равный

Тогда имеем

где величина a характерный размер электромагнитного поля, F напряженность электрического или магнитного поля. Тогда получим

т.е. коэффициент при первом члене много больше третьего члена в величину

Этот фактор сравнивается с величиной

при огромной энергии, например, электрона, равной

Это говорит о том, что ограничиваться второй производной от скорости не достаточно для определения силы торможения. Нужно учитывать следующие члены разложения по степеням относительной скорости.
Разложение для силы реакции излучения описывается рядом

где величина a это размер частицы, с скорость света,

размерный коэффициент. Если этот ряд оборвать, то получим определенное приближение. Т.е. существующие формулы основаны на приближенных соотношениях, и не являются точными.
Вычислив метрический тензор и подставив его в уравнение движения, получим, как я надеюсь, точное значение силы торможения, причем не в виде ряда.
Уравнение Дирака не записывали в криволинейных координатах.
Но сохраняя инвариантный вид уравнения, уравнение с индексами выглядит так
![$(ih\frac{\partial }{\partial t}+mc^2)g_{00}\psi_i=\sum_{k=0}^{3}\sum_{\nu=1}^{3}[c\alpha_{ik}^{\nu} \hat P^{\nu}+\beta_{ik}mc^2]g_{\nu \nu}\psi_k$ $(ih\frac{\partial }{\partial t}+mc^2)g_{00}\psi_i=\sum_{k=0}^{3}\sum_{\nu=1}^{3}[c\alpha_{ik}^{\nu} \hat P^{\nu}+\beta_{ik}mc^2]g_{\nu \nu}\psi_k$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/f/81fe60cedf1b382180d77c27a840a45682.png)
Это в случае ортогонального метрического тензора. В случае не ортогонального как записать уравнение Дирака в криволинейных координатах я не знаю. По видимому надо искать инвариантный вид уравнения.
-- Сб окт 16, 2010 11:41:51 --Как записать уравнение Дирака в ортогональных криволинейных координатах.
Для этого необходимо уточнить коэффициенты Ламе. Запишем оператор

Откуда определим величину

используя значение оператора

}

Решая это уравнение, определим

. Тогда уравнение Дирака запишется в виде
