Торы как прямые произведения

[paha]

Fagot в сообщении #363125 писал(а):

образ "направления" не сохраняется?

нет

[Joker_vD]

(Оффтоп)

Топики на топологические темы с участием Fagot'а и paha получаются просто-таки феерические. Этак, глядишь, я, к пятому подобному обсуждению топологию выучу и без всяких учебников

[Fagot]

paha в сообщении #363124 писал(а):

Если у Вас "вложение", то индуцированная топология совпадает с той, которая была

Выходит, при вложении $X\to Y$ объект $X$ становится (если сможет) подмножеством $Y$? Например, когда множество рациональных чисел вкладывается в множество действительных чисел, становясь его подмножеством? Скажите, пожалуйста, как правильно назвать операцию отображения одного топологического пространства на другое, при котором возникает новое пространство с новыми топологическими свойствами? ("вложение" получается многозначным термином : когда вкладываешь силы в ребёнка, то он меняется ...).

-- Пн окт 18, 2010 09:20:06 --

paha в сообщении #362439 писал(а):

Fagot в сообщении #362221 писал(а):
Дыра - это замыкание компактного подмножества $M$ в многообразии $X$.


Пусть $M$ -- это точка в $X$... тут "дыра" -- это точка в $X$

После некоторых размышлений данный результат показался не совсем абсурдным : топология имеет дело с непрерывностью и близостью, в этом смысле точка, что на множестве мощности континуума, что на дискретном множестве является, если подходить строго, как принадлежащей данному пространству. так и не принадлежащей ему (дырой) - "есть = ничему" ...

[paha]

Fagot в сообщении #363149 писал(а):

при вложении $X\to Y$ объект $X$ становится (если сможет) подмножеством $Y$?

при отображении $f:X\to Y$ никто ничего не "может" и никем не становится, только образ $f(X)$ является подмножеством в $Y$

Fagot в сообщении #363149 писал(а):

как правильно назвать операцию отображения одного топологического пространства на другое, при котором возникает новое пространство с новыми топологическими свойствами?

не понятно о чем Вы спрашиваете

[Fagot]

paha в сообщении #363155 писал(а):

не понятно о чем Вы спрашиваете

Можно подумаю..

[Fagot]

1. Берём материальный трехмерный шар, помещаем в пустое евклидово пространство. Возникает дыра - пространство с неевклидовой геометрией. Нельзя ли попытаться представить эти действия на языке топологии?

[Joker_vD]

Цитата:

1. Берём материальный трехмерный шар, помещаем в пустое евклидово пространство. Возникает дыра - пространство с неевклидовой геометрией.

Какая дыра? Где возникает?

[Fagot]

Joker_vD в сообщении #363251 писал(а):

Какая дыра? Где возникает?

Какая дыра : её образ - кротовая нора, ручка, чревоточина, соединяющая пространство внутри и вне трёхмерного шара - гиперповерхности в четырехмерном римановом пространстве сигнатуры (-2). Возникает, вот тут, понимаете, главный источник недопонимания между математиками и другими специалистами, - в самом пространстве, которое (это тоже непростой факт) неотличимо от его формы и "физического" содержания. Попросту говоря, если форма пространства - шар, тор,..., то оно никаким образом нигде (и вне шара ) не может быть евклидовым. Оно таким становится, если оно пусто - не содержит никаких форм. Кстати, именно поэтому (плюс недостаток образования) была непонятна идея вложения в топологии.

[paha]

Fagot
уже определитесь с языком: либо на стихи.ру, либо тут

математике как дисциплине не надо отстаивать право на свой язык: ракеты летают, телефоны звонят

[Fagot]

paha в сообщении #363430 писал(а):

математике как дисциплине не надо отстаивать право на свой язык: ракеты летают <...>

Да, конечно, но они летают на длинах $10^{14}$ см, а нам сейчас, как цивилизации, это можно обосновать, позарез нужно не менее $10^{18}$ см. Ученический вес слишком мал, чтобы обсуждать эту проблему с учителями математиками, давайте её отставим...

paha в сообщении #363430 писал(а):

уже определитесь с языком: либо на стихи.ру, либо тут

Конечно тут, поэтому можно ещё немного времени, чтобы подумать.

[bruno1]

Fagot в сообщении #361211 писал(а):

Если тор $T^2$ рассмотреть как подмножество в $\mathbb{R}^4$:

$$ \{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4:\,x^2+y^2=1,\,z^2+t^2=1\}, $$

А как осуществляется вложение этого дела в $\mathbb{R}^3$ ?

[Munin]

А никак. В $\mathbb{R}^3$ другой тор, а такой не вложишь, без разрывов и склеек, или без растяжений и сжатий.

[Kallikanzarid]

Fagot в сообщении #361115 писал(а):

Нечетные сферы больше похожи на торы, чем на сферы (хотя понимаю, что это вопрос определений). Пока не могу понять, есть ли у них дырка.

Симплициарная гомология вам в помощь.

Цитата:

Да, ошибка, спасибо. $S^1\times S^1$ умножаются нормально в трехмерном пространстве, значит, $T^2\times S^1$ должны умножаться в четырехмерном.

Для человка, оперирующего гомотопиями, вы слишком легко совершаете ошибку, считая, что прямое произведение топологических пространств зависит от их вложения :)

[bruno1]

Munin в сообщении #436217 писал(а):

А никак. В $\mathbb{R}^3$ другой тор, а такой не вложишь, без разрывов и склеек, или без растяжений и сжатий.

Т.е. по вашему тор в $\mathbb{R}^3$ и тор в $\mathbb{R}^4$ построенный как прямое произведение в $\mathbb{S}^1 X \mathbb{S}^1$ никак друг в друга не отображаются?

И чем собственно тор $\mathbb{R}^3$ "другой" ?

[Munin]

bruno1 в сообщении #436352 писал(а):

Т.е. по вашему тор в $\mathbb{R}^3$ и тор в $\mathbb{R}^4$ построенный как прямое произведение в $\mathbb{S}^1 X \mathbb{S}^1$ никак друг в друга не отображаются?

Почему никак? Отображаются, но не метрически, с нарушением метрики и внутренней кривизны. Зато с сохранением топологии, так что топологически говоря, и то и другое тор. И кружка с ручкой - тоже тор.

(Оффтоп)

Пишите \times: $S^1 \times S^1.$

bruno1 в сообщении #436352 писал(а):

И чем собственно тор $\mathbb{R}^3$ "другой" ?

Внутренне: метрикой, внутренней кривизной.
Внешне: другой функцией вложения, внешней кривизной.
Мы же умеем различать бублик и кружку с ручкой, поскольку можем говорить не только о топологических, но и о других их геометрических свойствах. Что удивительного в том, что эти два тора "другие"?