Помогите разобраться..

[Marischa]

Замечательно! А теперь переходить в полярным координатам нужно. Мы из какой функции переход делаем? Из $x^2+y^2=4$ , да? По формулам $x=rcost$ , $y=rsint$ , так? а х и y - это центр окружности.

[ИСН]

Там ещё есть страшное слово "якобиан".

[gris]

Упс. К полярным надо было сразу от двойного переходить. Зачем тогда повторный выписывали? Но формулы подойдут. Теперь надо определить, в каких пределах изменяются $r$ и $t$, чтобы получить наш маленький кружок радиусом 2.
$x=r\cos t$
и ещё яко... Вот, точно!

[Marischa]

t изменяется от 0 до пи/2, а r от -2 до 2. Так?

[gris]

радиус неотрицателен! Ну можно и так для четвертушки. Можно и полный оборот сделать.

$$\iint\limits_D \sqrt{16-x^2-y^2}\,dxdy = \int\limits_0^{2\pi}dt\int\limits_0^2\sqrt{16-x^2-y^2}\cdot J\,dr$$

Подставляйте $x$ и $y$, якобиан и интегрируйте на здоровье.

[Marischa]

а что такое якобиан, первый раз слышу...

[gris]

Это когда мы переходим к интегрироыанию в других координатах. Почитайте.
В нашем случае якобиан равен $r$, то есть очень удачно.

[Marischa]

Ура!!!!!! Всё получилось!! Спасибо огромное за помощь!!

[vvvv]

И картинка напоследок

[vvvv]

Marischa в сообщении #362407 писал(а):

Ура!!!!!! Всё получилось!! Спасибо огромное за помощь!!

И что же, интересно, у Вас получилось?
Дело в том, что вычисляемый объем состоит из цилиндра и части шара, поэтому нужно быть внимательным при переходе к сферическим (цилиндрическим) координатам

[arqady]

(Оффтоп)

lim0n в сообщении #362305 писал(а):

gris в сообщении #362303 писал(а):

Однажды колобок пуля пробила.

Лучше - мышка проела.

По-моему, лучше не колобок, а колобка.

[lim0n]

(Оффтоп)

arqady в сообщении #362942 писал(а):

lim0n в сообщении #362305 писал(а):

gris в сообщении #362303 писал(а):

Однажды колобок пуля пробила.

Лучше - мышка проела.

По-моему, лучше не колобок, а колобка.

Возможно автор считал, что "колобок" нечто неодушевлённое.