Помогите разобраться..

[Marischa]

Тут надо именно без координат, а через интеграл.
Честно говоря, не знаю, пределы интегрирования я нашла по области Д, которую сделала из $x^2+y^2=4$ . Может и в правду попробовать по $z=0$ ?
Стоп!! Интеграл от 0 -это 0!

[gris]

Представьте, что Вы находитесь в цилиндрической комнате с выпуклым сферическим потолком. Вам надо найти объём. Вы возьмете палку и будете мерить расстояние от поа ($z=0$) до потолка $(z=f(x.y))$ в каждой точке пола (то есть в области $D$) и складывать (интегрировать).

[Marischa]

т.е. Вы хотите сказать, что надо искать интеграл от $x^2+y^2=4$ ?

[gris]

Нет, Вы же что-то с корнем писали. Уравнение, описывающее потолок.
А, вот: $z=\sqrt{16-x^2-y^2}$.
А $x^2+y^2\leqslant 4$ описывает пол.
Интегрируем по всей площади пола от пола до потолка

[ewert]

(Оффтоп)

gris в сообщении #362332 писал(а):

Интегрируем по всей площади

а нужно ли?...

[Marischa]

Всё равно не поняла. Я так и делала, но интеграл от большого корня не считается, т.е. в двойном интеграле первый я нашла, а второй от него - нет!

[gris]

не нужно. Но раз стоит задача написать двойной интеграл, то нужно его написать. А потом уж можно пользоваться симметрией, переходить к полярным координатам, к повторному и тому подобное. И сравнить.

[Marischa]

всё ясно, тут через полярные координаты надо, сейчас попробую.

[gris]

Marischa, а Вы напишите сам интеграл-то.

[math]$$\iint\limits_D z\,dxdy$$[/math]

$$\iint\limits_D z\,dxdy$$

[Marischa]

это сложно..такую сложную формулу я тут не наберу.

[gris]

Это совсем не сложно.
Даже интересно. Я на доске или бумаге никогда так не нарисую, а тут вот получается. Переходите к полярным, что же поделать.
В принципе можно и как объём тела вращения посчитать. Видите, сколько способов.

[Marischa]

$$\iint\limits_D \sqrt(16-x^2-y^2)\,dxdy$$

=

$$\int\limits_D dx\int\limits_D\sqrt(16-x^2-y^2)\,dy$$

[gris]

Чуть поправлю

$$\iint\limits_D \sqrt{16-x^2-y^2}\,dxdy = 4\int\limits_0^? dx\int\limits_0^?\sqrt{16-x^2-y^2}\,dy$$

Подкоренное выражение в фигурных скобках. Посчитаем объём четвертушки при $x,y\geqslant 0$, осталось правильно расставить пределы интегрирования.

[Marischa]

где первый вопросик - будет 2, а где второй $\sqrt(4-x^2)$ , так?

[gris]

Совершенно верно

$$4\int\limits_0^2 dx\int\limits_0^{\sqrt{4-x^2}}\sqrt{16-x^2-y^2}\,dy$$

Обратите внимание, что $16-x^2>0$ в области интегрирования