Вопрос про парадокс Б. Рассела [аксиома фундирования]

[caxap]

Читал, что для того, чтобы от него избавиться, есть два пути:
1) Ввести понятие класса -- это множество, которое не может быть элементов других множеств. Таким образом множество всех множеств -- это класс, и себя он включать не может.
2) Строго указать те способы, которыми можно строить новые множества. Т. е. множества строяться "постепенно" и парадокса Рассела возникнуть не может.

Это всё хорошо, но у меня есть 1 маааленький вопрос: почему бы просто не запретить (любому) множеству быть своим элементом? (Даже если рассмотреть множество, единственный элемент которого -- он сам, то получается бесконечная рекурсивная цепь вложений: $a=\{a\}=\{\{a\}\}=\{\{\{a\}\}\}=\ldots$, от которой, видимо, тоже хорошего мало. Кому такие множества нужны?)

[Joker_vD]

Ну смотри. Строим множество всех мно- ах нет, не строится — оно должно содержать себя, а оно не может. Ладно, строим множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента, поскольку ни одно множесто не содержит себя в качестве элемента, то мы строим множество всех множеств — которое не строится.

Введение такого запрета тянет то, что иногда мы не можем построить множество. Возникает вопрос: а когда и как мы можем? Т.е. введение такого запрета вызывает необходимость идти по пути 2). И действительно, подобный запрет входит в стандартную аксиоматику ZF под названием аксиомы фундирования.

[Профессор Снэйп]

caxap в сообщении #361952 писал(а):

Это всё хорошо, но у меня есть 1 маааленький вопрос: почему бы просто не запретить (любому) множеству быть своим элементом?

Что значит "запретить"?

У Вас есть способы образования множеств из "уже имеющихся", надо проследить, чтобы они не конфликтовали с таким запретом. Собственно, это и было проделано при построении аксиоматической теории множеств.

[caxap]

Профессор Снэйп в сообщении #362003 писал(а):

Что значит "запретить"?

Ну запретили же классу не быть элементов других множеств.

-- Чт окт 14, 2010 18:17:27 --

Хотя ладно, ответ Joker_vD уже исчерпывающий.

[Someone]

caxap в сообщении #362060 писал(а):

Ну запретили же классу не быть элементов других множеств.

Никто ему ничего не запрещал. В теории множеств, основанной на классах (GB), основным объектом является класс. А множество определяется как класс, который является элементом какого-нибудь класса.

Joker_vD в сообщении #361957 писал(а):

И действительно, подобный запрет входит в стандартную аксиоматику ZF под названием аксиомы фундирования.

В книге Куратовского и Мостовского "Теория множеств" излагается теория множеств без аксиомы фундирования (она также называется аксиомой регулярности). Отсутствие аксиомы фундирования в ряде случаев усложняет рассуждения.
Вообще, это неверно, что аксиома фундирования вводится для того, чтобы избежать парадокса Рассела. Если какая-то система аксиом противоречива, то добавление новой аксиомы не может сделать систему непротиворечивой по тривиальной причине: добавление аксиомы увеличивает возможности доказательства различных утверждений, в результате то, что было доказуемо без новой аксиомы, "тем более" будет доказуемо с ней. Если мы смогли построить противоречие без аксиомы фундирования, то это построение будет работать и с ней. (Для ZFC доказано и обратное: если противоречие можно построить с помощью аксиомы фундирования, то его можно построить и без этой аксиомы.)
Парадокс Рассела в действительности относится к канторовской неаксиоматической теории множеств. В ней нет никаких аксиом, и разрешаются любые построения, которые кажутся интуитивно убедительными. В частности, конкретно к парадоксу Рассела приводит неограниченный принцип образования множеств: если мы сформулировали некоторое свойство, то можем определить множество всех элементов, обладающих этим свойством. В аксиоматической теории (ZFC, например) этот принцип заменяется аксиомой выделения: берутся не все элементы с данным свойством, а только элементы, принадлежащие заданному множеству.