Доказательство линейности ф-ции из св-ва f(a+b)=f(a)+f(b)

[RIP]

epros писал(а):

Значит ли это, что примером аддитивной, но нелинейной ф-ции, определенной на R, можно считать, скажем, такое:
f(a+b) = a + 2*b, где a принадлежит Q, а b принадлежит R-Q?

Нет, не значит. Ну сами подумайте, не каждое число можно записать так, а те что можно, записываются неоднозначно. Простых примеров(конструктивных) для всего R неизвестно.

[bot]

Опять неправильно - неясно даже, как она у Вас задана:
к примеру f(0)=?
У Руста функция (не на всём R) определена корректно, так как любое число вида $a+b\sqrt2$ с рациональными коэффициентами a и b однозначно в этом виде представляется, потому возможно задание:
$f(a+b\sqrt2)=$всё что хочу и тогда действительно получаем функцию.
Если взять как у Руста (можно и по-другому), опровергнуть линейность очень просто:
для $\alpha=\sqrt2$ и $x=1$ имеем:
$2=f(\alpha\cdot x)\ne \alpha\cdot f(x)=\sqrt2$

Собственно аналогия есть: на базисе $1, \sqrt2$ определяем функцию как угодно (например, $f(1)=1, f(\sqrt2)=2$, а затем распространяем на все числа указанного вида по линейности относительно рациональных a и b : $f(a+b\sqrt2)=af(1)+bf(\sqrt2)=a+2b$, только функция не получается определённой на всём R. То же самое делается на базисе Гамеля: на первом векторе базиса полагаем значение функции равным 1, а на остальных - 0.

PS. Пока писал, да правил как Лев Толстой, чтобы попонятнее было, уж и ответили. Ну да оставляю - всё-таки подробнее, хотя и одинаково.

[epros]

RIP писал(а):

epros писал(а):

Значит ли это, что примером аддитивной, но нелинейной ф-ции, определенной на R, можно считать, скажем, такое:
f(a+b) = a + 2*b, где a принадлежит Q, а b принадлежит R-Q?

Нет, не значит. Ну сами подумайте, не каждое число можно записать так,

Разве? Мне казалось, что каждое x из R принадлежит либо Q, либо R-Q, так что всегда можно положить либо b=0, либо a=0

RIP писал(а):

а те что можно, записываются неоднозначно.

Вот это действительно проблема. Понимаю. $1 + \sqrt2$ принадлежит R-Q, т.е. для него можно записать как a=1, так и a=0.

RIP писал(а):

Простых примеров(конструктивных) для всего R неизвестно.

Пусть будут не совсем простые, но хотелось бы понять. Не судите строго, функан я в своё время так глубоко не изучал Поэтому Ваш пример мне пока непонятен. Как "выбрать базис Гамеля R над Q"? Какова будет "первая координата x" в этом базисе?

[RIP]

epros писал(а):

всегда можно положить либо b=0, либо a=0

b нельзя полагать равным 0. А вообще сумма рационального и иррационального всегда иррациональна.

[epros]

RIP писал(а):

epros писал(а):

всегда можно положить либо b=0, либо a=0

b нельзя полагать равным 0. А вообще сумма рационального и иррационального всегда иррациональна.

Да, это я не подумал

bot,
Я это понимаю, но мне не интересны ф-ции, определённые на ограниченных подмножествах R. Не могли бы Вы пояснить, как определяется базис для всего R?

[Capella]

А что это за такое тело $\mathbb{R} - \mathbb{Q} $? Hе является-ли оно равным $\subseteq \mathbb{R}$ на том основании, что множество рациональных чисел счётно, а реельных нет?

[RIP]

Как уже писал бот:
R можно рассматривать как (бесконечномерное) векторное пространство над полем Q, берем самый обычный базис(то, что он существует, придется принять на веру). Это Вам, надеюсь, знакомо? Конечно, базис будет непонятно какой, иметь мощность континуум, но ничего страшного.
Так вот, пусть этот базис есть $\{\mathbf{e}_{\alpha}\}_{\alpha\in\mathfrak{A}}$. Каждое $x\in\mathbb{R}$ единственным образом представляется в виде $x=x_{\alpha_1}\cdot \mathbf{e}_{\alpha_1}+x_{\alpha_2}\cdot \mathbf{e}_{\alpha_2}+\ldots+x_{\alpha_n}\cdot \mathbf{e}_{\alpha_n}$, где координаты "вектора" x

$$x_{\alpha}=\begin{cases} x_{\alpha_j},&\alpha=\alpha_j,1\le j\le n;\\ 0,&\text{для остальных $\alpha$.} \end{cases} $$

Это рациональные числа. Теперь фиксируем $\alpha_0\in\mathfrak{A}$ и рассматриваем

$$f(x)=x_{\alpha_0}.$$

Вот, собственно, и всё. То, что f нелинейна, следует из того, что она принимает только рациональные значения.

Добавлено спустя 9 минут 26 секунд:

Capella писал(а):

А что это за такое тело $\mathbb{R} - \mathbb{Q} $? Hе является-ли оно равным $\subseteq \mathbb{R}$ на том основании, что множество рациональных чисел счётно, а реельных нет?

Насколько я понял(и вроде бы правильно понял), имелось в виду $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$.

[Capella]

RIP писал(а):

Capella писал(а):

А что это за такое тело $\mathbb{R} - \mathbb{Q} $? Hе является-ли оно равным $\subseteq \mathbb{R}$ на том основании, что множество рациональных чисел счётно, а реельных нет?

Насколько я понял(и вроде бы правильно понял), имелось в виду $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$.

У меня честно говоря, была такая-же мысль, но я подумала, что возможно чего-то не понимаю.

[RIP]

Верещагин Н.К., Шень А. — Начала теории множеств
Вот Вам местная ссылка, если инету нету. сс.81-83

[Capella]

Если это мне, то я не из МГУ и доступа к библиотекe не имею. Хотя всё равно спасибо, но мне просто запись была не понятна.

[epros]

RIP писал(а):

Как уже писал бот:
R можно рассматривать как (бесконечномерное) векторное пространство над полем Q, берем самый обычный базис(то, что он существует, придется принять на веру). Это Вам, надеюсь, знакомо?Конечно, базис будет непонятно какой, иметь мощность континуум, но ничего страшного.

Что такое базис в пространстве векторов - понятно. Про бесконечномерность и мощность континуума - тоже более-менее.

RIP писал(а):

Так вот, пусть этот базис есть $\{\mathbf{e}_{\alpha}\}_{\alpha\in\mathfrak{A}}$. Каждое $x\in\mathbb{R}$ единственным образом представляется в виде $x=x_{\alpha_1}\cdot \mathbf{e}_{\alpha_1}+x_{\alpha_2}\cdot \mathbf{e}_{\alpha_2}+\ldots+x_{\alpha_n}\cdot \mathbf{e}_{\alpha_n}$,

А вот это непонятно. Почему бесконечно-мерный вектор должен представляться через конечное количество ортов?

RIP писал(а):

где координаты "вектора" x

$$x_{\alpha}=\begin{cases} x_{\alpha_j},&\alpha=\alpha_j,1\le j\le n;\\ 0,&\text{для остальных $\alpha$.} \end{cases} $$

Это рациональные числа.

То, что координаты вектора в данном базисе рациональные - понятно. Непонятно, почему координат конечное число.

RIP писал(а):

Теперь фиксируем $\alpha_0\in\mathfrak{A}$ и рассматриваем

$$f(x)=x_{\alpha_0}.$$

Вот, собственно, и всё.

А это что значит? Кажется, у нас не было альфы с нулевым индексом. Имелась в виду единица?

RIP писал(а):

То, что f нелинейна, следует из того, что она принимает только рациональные значения.

Похоже, что это явно не соответствует моим условиям. Поскольку у меня ф-ция действительно-значная.

[RIP]

epros писал(а):

Почему бесконечно-мерный вектор должен представляться через конечное количество ортов?

Таково определение базиса.

epros писал(а):

Непонятно, почему координат конечное число.

См. выше.

epros писал(а):

А это что значит? Кажется, у нас не было альфы с нулевым индексом. Имелась в виду единица?

Фиксируем произвольный элемент и обзовем его $\alpha_0$.

epros писал(а):

Похоже, что это явно не соответствует моим условиям. Поскольку у меня ф-ция действительно-значная.

Но если функция принимает только рациональные значения, она тем паче вещественнозначная.

[epros]

RIP писал(а):

epros писал(а):

Почему бесконечно-мерный вектор должен представляться через конечное количество ортов?

Таково определение базиса.

Очень странное определение, я этого не понимаю. У нас что, базис опредляется под заранее выбранный вектор? Насколько я понимаю, мы сначала определяем базис, потом выбираем произвольный вектор из R, а уж после этого смотрим, как он разложится по базису. Почему бы ему вдруг разложиться по конечному количеству ортов, а к остальным оказаться нормальным?

[Capella]

RIP писал(а):

Так вот, пусть этот базис есть $\{\mathbf{e}_{\alpha}\}_{\alpha\in\mathfrak{A}}$. Каждое $x\in\mathbb{R}$ единственным образом представляется в виде $x=x_{\alpha_1}\cdot \mathbf{e}_{\alpha_1}+x_{\alpha_2}\cdot \mathbf{e}_{\alpha_2}+\ldots+x_{\alpha_n}\cdot \mathbf{e}_{\alpha_n}$, где координаты "вектора" x

$$x_{\alpha}=\begin{cases} x_{\alpha_j},&\alpha=\alpha_j,1\le j\le n;\\ 0,&\text{для остальных $\alpha$.} \end{cases} $$

Это рациональные числа.

Да, у меня тоже возник вопрос... Вы определяете, что $x \in \mathbb{R}$, причём для каждого $x$. Но вот я беру $\pi \in \mathbb{R}$ и не могу его представить в виде конечной суммы, т.к. $\pi$ трансцендентно. Может быть правильнее будет написать $x \in \mathbb{Q}$ ?

[bot]

Думаю многие непонятки снимутся, если начать с самого начала. Что такое линейное пространство V над полем F?
Это есть множество векторов, в котором определены двуместная операция сложения и множество одноместных операций $x \longrightarrow \alpha \cdot x$, называемых умножением вектора x на любой скаляр $\alpha \in F$. Эти операции удовлетворяют известным аксиомам.
Подпространство - это подмножество в V, замкнутое относительно всех операций. Взяв произвольное подмножество M в V мы можем организовать подпространство $L(M)$ - наименьшее из всех подпространств, содержащих множество M, называемое линейной оболочкой множества M. Нетрудно понять, что оно состоит из всевозможных линейных комбинаций векторов из M, взятых в конечном числе.
Конечная система векторов называется линейно зависимой, если существует нетривиальная (то есть хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля) линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору. Конечная система векторов называется линейно независимой, если она не является линейно зависимой. Произвольная система векторов называется линейно независимой, если линейно независима любая конечная подсистема этой системы.
Базис пространства V - это вполне упорядоченное подмножество векторов M, обладающее двумя свойствами:
1) M линейно независима
2) L(M)=V.

Пространство называется конечномерным, если оно имеет конечный базис и бесконечномерным - в противном случае. Если зафиксирован базис, мы можем каждому вектору x сопоставить функцию координат, сопоставляющую каждому вектору b из базиса коэффициент, который стоит при b в (однозначном) разложении вектора x по базису. Эта функция разумеется зависит не только от состава базисных векторов, но и от заданного упорядочения базиса. Подчеркну ещё раз, что эта функция имеет ненулевое значение лишь для конечного числа базисных векторов.
В конечномерном или счётномерном пространстве упорядочение задаём нумерацией базисных векторов натуральными числами и в соотвествии с этой нумерацией просто перечисляем координаты. В конечномерном случае эта функция записывается просто n-кой.

Примеры.
1) Множество всех многочленов над полем F степени не выше n-1 является пространством размерности n с базисом $1,x,x^2, ... , x^{n-1}$
2) Множество всех многочленов над полем F любых степеней является бесконечномерным пространством с базисом $1,x,x^2, ... , x^{n-1}, ...$
3) Множество всех бесконечно дифференцируемых функций является бесконечномерным пространством, но счётного базиса в нём нет.
Наверно, последний пример в свете непоняток надо считать провокационным.