Торы как прямые произведения

[Joker_vD]

Цитата:

Следовательно, при вложении сферы $S^1$ в пространство $\mathbb R^3$ появляется дырка, сквозь которую свободно пролетает шар $S^3$ радиуса, меньшего, чем радиус одномерной сферы.

И как отсюда следует несвязность?

[Fagot]

Joker_vD в сообщении #361817 писал(а):

И как отсюда следует несвязность?

Правда, не несвязность, а неодносвязность (многосвязность). Неодносвязность одномерной сферы - уже известна. Неодносвязность трехмерной сферы - по "аналитическому продолжению".

[Joker_vD]

Поподробнее про "аналитическое продолжение" можно? А то вы, извините, показываете шарик, показываете опоясывающую его окружность (ну, типа Сатурн ), и говорите: "Раз они не пересекаются, значит, окружность состоит из двух, а то и более, кусков".

Я, конечно, в общей топологии профан. Но уж на что, на что, а на $\mathbb R^3$ мне геометрической интуиции хватит.

[Fagot]

Joker_vD в сообщении #361820 писал(а):

показываете опоясывающую его окружность

Ну, наверно, это как раз и означает, что опоясывающую его окружность, принадлежащую области трехмерной сферы, нельзя стянуть в точку.

[Someone]

Fagot, ну зачем же такие глупости писать?

[Fagot]

Someone в сообщении #361823 писал(а):

ну зачем же такие глупости писать?

Там ведь знак вопроса стоит...

[Joker_vD]

Цитата:

Ну, наверно, это как раз и означает, что опоясывающую его окружность, принадлежащую области трехмерной сферы, нельзя стянуть в точку.

А... а что помешает? Они же не пересекаются?

[paha]

Позвольте, я переведу то, что вы написали, на математический язык (отмечая непонятное мне, как переводчику, цитированием):

1) Сфера $S^1$ - край шара $B^2$ - неодносвязна.

Пусть $R_2>0$. Рассмотрим множества в $\mathbb{R}^3$:

$$ A=\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3 : x_1^2+x_2^2\le R_2^2, \,x_3=0\}, $$

$$ B = \{(x_1,x_2, x_3)\in \mathbb{R}^3 : x_1^2+x_2^2=R_2^2,\,x_3=0), $$

$$ C = \{(x_1,x_2, x_3)\in \mathbb{R}^3: x_1^2+x_2^2+x_3^2\le R_3^2). $$

Первое гомеоморфно двумерному замкнутому шару, второе -- окружности, третье -- трехмерному замкнутому шару.

Множество $C$ при условии $R_3< R_2$

Fagot в сообщении #361814 писал(а):

проваливается сквозь

множество $B$

Fagot в сообщении #361814 писал(а):

не сталкиваясь с ней и не касаясь её.

Это видно из того, что алгебраическая система уравнений и неравенств :

$$ \left \{ \begin{matrix} x_1^2+x_2^2=R_2^2\\ x_1^2+x_2^2+x_3^2\le R_3^2\\ R_3<R_2\\ \end{matrix} $$

не имеет решений. Следовательно, при вложении сферы $f:S^1\to\mathbb{R}^3$, $f(S^1) =B$

Fagot в сообщении #361814 писал(а):

появляется дырка, сквозь которую свободно пролетает

шар $S^3$ (вероятно, автор хотел сказать "множество $C$, гомеоморфное трехмерному замкнутому шару" -- paha) радиуса, меньшего, чем радиус одномерной сферы.

(прямая $x_1=x_2=x_3-10R_3$ тоже не имеет общих точек с шаром $C$, разве из этого следует неодносвязность прямой? -- paha)

ну и так далее

-- Чт окт 14, 2010 00:06:59 --

Someone в сообщении #361823 писал(а):

ну зачем же такие глупости писать?

я хочу в квант статью написать... мне интересны возможные трудности в понимании предмета и языка)

[Fagot]

paha в сообщении #361828 писал(а):

(прямая $x_1=x_2=x_3-10R_3$ тоже не имеет общих точек с шаром $C$, разве из этого следует неодносвязность прямой? -- paha)

Скажите, пожалуйста, разве наличие дырки в пространстве вложения не гарантирует наличие нестягиваемой петли в самом многообразии?

[paha]

Fagot в сообщении #361818 писал(а):

Неодносвязность трехмерной сферы - по "аналитическому продолжению".

а как же неодносвязность двумерной? ведь в "доказательстве" ничего про эйлерову характеристику нет

-- Чт окт 14, 2010 00:10:31 --

Fagot в сообщении #361829 писал(а):

разве наличие дырки

уже скажите ЧТО ТАКОЕ ДЫРКА?

[Fagot]

Joker_vD в сообщении #361827 писал(а):

А... а что помешает? Они же не пересекаются?

Дырка, наверно.

-- Чт окт 14, 2010 00:18:12 --

paha в сообщении #361830 писал(а):

а как же неодносвязность двумерной? ведь в "доказательстве" ничего про эйлерову характеристику нет

Нечетномерные многообразия наследуют свойства нечетномерных, а четномерные - четномерных : $S^0$ односвязна и $S^2$ - односвязна. $\chi (S^0)=2$ и $\chi (S^2)=2$.

$\chi (S^1)=\chi (S^3)=0$.

[paha]

Fagot в сообщении #361831 писал(а):

Нечетномерные многообразия наследуют свойства нечетномерных, а четномерные - четномерных

Ваше "доказательство" не использует четность размерности

[Fagot]

paha в сообщении #361830 писал(а):

уже скажите ЧТО ТАКОЕ ДЫРКА?

Можно, конечно, предложить одно детское определение : При вложении многообразия в пространство существует дырка, если в каком-либо потоке, обдувающем многообразие, возникает "сквозняк".

[paha]

Fagot в сообщении #361831 писал(а):

$S^0$ односвязна

$S^0$ не является односвязной --- перечитайте определение $n$-связности

[Fagot]

paha в сообщении #361835 писал(а):

Ваше "доказательство" не использует четность размерности

Почему же, как видно, использует : четные размерности обойдены.