Что такое дифференциал?

[Padawan]

Строго дифференциалы и обозначают. Причем, учитывая инвариантность формы первого дифференциала, не важно $y=y(x)$, $x=x(y)$ или вообще $x=x(t), y=y(t)$.

[caxap]

Padawan в сообщении #361794 писал(а):

Строго дифференциалы и обозначают.

Но тогда, по-моему, дифференциал называть функцией не очень корректно.

[ewert]

caxap в сообщении #361792 писал(а):

А что строго значат буковки $d$ в дифурах типа $\tg x \,dx-\ctg x\, dy=0$ (дифур из Эльсгольц "Дифуры и вар. исчисление")

Тут (или там) уже была реплика на этот счёт: с формальной точки зрения, дифференциал -- это формальное произведение производной на т.наз. "дифференциал независимой переменной" (пусть и векторной). Но это -- формальности, а вот с точки зрения приложений -- очень неплохо бы понимать, что за всеми этими формальностями стоит.

Физики это обычно понимают на автомате. Математикам это просто не интересно. А вот с инженерами -- несколько хуже бывает. Они не обладают такой математической культурой, как стандартные физики, обучают же их -- стандартные математики. Потому для инженеров это и бывает некоторой загадкой.

[Padawan]

caxap в сообщении #361798 писал(а):

Padawan в сообщении #361794 писал(а):

Строго дифференциалы и обозначают.

Но тогда, по-моему, дифференциал называть функцией не очень корректно.

Почему? $dx=x'dt$ Уважаемый ewert смотрит на $dx$ как на линейную функцию от $dt$, а я -- как на её значение при каком-то конкретном $dt$. Если же Вы подставите вместо $dx$ и $dy$ сотвестветнно $x'dt$ и $y'dt$, то в силу произвольности $dt$, на него можно сократить, на какую точку зрения ни встань.

-- Ср окт 13, 2010 23:43:03 --

Профессор Снэйп в сообщении #361266 писал(а):

У меня лично такое ощущение, что понятие "дифференциал" надо счесть устаревшим и не использовать его в курсах матанализа.

Что надо считать устаревшим, так это выражение "бесконечно малое приращение". Но математики его вроде почти и не употребляют. Зато физики постоянно Меня бы устроил такой копромисс: "малое приращение"

-- Ср окт 13, 2010 23:47:11 --

А давайте обсудим, что такое второй дифференциал ?

[master]

AD в сообщении #361673 писал(а):

Поясните. Вот, например, $x_1=1$, $x_2=2$. Тогда $\Delta x=x_1-x_2=-1\to0$?? А вот это "$\Delta x=dx$" ... Зачем два разных обозначения тогда, если они равны? Или это снова какое-то "1=2 при достаточно больших значениях 1"?

Все просто, вы зачем -1 устремляете к нулю?
Вобщем расматривается преращения переменной $x$, -1; -0,5; -0,25 ......
$\Delta y= k \Delta x$
при
$\Delta x \to 0$
запись принемает вид
$dy= k dx$
тоесть $dx$ не может быть равно какому либо определенному числу

-- Чт окт 14, 2010 10:52:00 --

Padawan в сообщении #361803 писал(а):

А давайте обсудим, что такое второй дифференциал ?

Пример

[Padawan]

master в сообщении #361878 писал(а):

тоесть $dx$ не может быть равно какому либо определенному числу

Может. Решите задачку из первого сообщения этой темы.

[ewert]

Padawan в сообщении #361803 писал(а):

Что надо считать устаревшим, так это выражение "бесконечно малое приращение". Но математики его вроде почти и не употребляют. Зато физики постоянно

Оно не устареет никогда, ибо оно по существу. Математики его потребляют редко, ибо застенчивы. Физикам же стесняться нечего, а с другой стороны -- некогда возиться с формализациями предельных переходов.

Padawan в сообщении #361803 писал(а):

А давайте обсудим, что такое второй дифференциал ?

Чего тут обсуждать -- это значение соотв. билинейной формы.

[Padawan]

ewert в сообщении #361921 писал(а):

Padawan в сообщении #361803 писал(а):

А давайте обсудим, что такое второй дифференциал ?

Чего тут обсуждать -- это значение соотв. билинейной формы.

еще важное условие: при $\delta x=dx$, т.е. получается квадратичная форма.

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #361803 писал(а):

А давайте обсудим, что такое второй дифференциал

Ага. Почему пишут $\dfrac{d^2f}{dx^2}$, а не $\dfrac{d^2f}{d^2x}$ или $\dfrac{df^2}{dx^2}$?

[Padawan]

$dx^2= (dx)^2$, $d^2y= d(dy)$.

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #363004 писал(а):

$dx^2= (dx)^2$, $d^2y= d(dy)$.

Вся равно непонятно.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #363005 писал(а):

Padawan в сообщении #363004 писал(а):

$dx^2= (dx)^2$, $d^2y= d(dy)$.

Вся равно непонятно.

Потому, что $d^2f\equiv f''\cdot (dx)^2$, в т.ч. и в многомерных случаях. Так лучше?...

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #363010 писал(а):

Так лучше?...

Нет.

[ewert]

Плохо дело.

Тут же объяснялось уже, что второй дифференциал (от скалярной функции) -- это квадратичная форма. Которая в одномерном случае превращается просто в квадратичную функцию.

[Александр Т.]

Профессор Снэйп в сообщении #363002 писал(а):

Почему пишут $\dfrac{d^2f}{dx^2}$, а не $\dfrac{d^2f}{d^2x}$ или $\dfrac{df^2}{dx^2}$?

При такой записи (с учетом ее расшифровки, данной Padawan'ом в сообщении #363004) соблюдается размерность физических величин, что позволяет с удобством применять это обозначение в статьях по физике.

$$ \mathop{\mathrm{dim}}\dfrac{\mathop{\mathrm{{}d}}^2f}{{\mathop\mathrm{{}d}{x}}^2}} = \dfrac{\mathop{\mathrm{dim}}f}{(\mathop{\mathrm{dim}}x)^2}} ,\quad \mathop{\mathrm{dim}}\dfrac{\mathop{\mathrm{{}d}}^2f}{\mathop\mathrm{{}d}^2{x}}} = \dfrac{\mathop{\mathrm{dim}}f}{\mathop{\mathrm{dim}}x} ,\quad \mathop{\mathrm{dim}}\dfrac{\mathop{\mathrm{{}d}}f^2}{{\mathop\mathrm{{}d}{x}}^2}} = \dfrac{(\mathop{\mathrm{dim}}f)^2}{(\mathop{\mathrm{dim}}x)^2}} . $$

(Оффтоп)

Это, конечно, тоже можно все равно не понимать. Просто не мог удержаться от того, чтобы отметить это обстоятельство.