Включение множеств

[kkar]

Как показать такое включение множеств: $A\subset \overline{B}$, если известно точно, что не верно включение $A\subset B$?
$\overline{B}$ - замыкание.

[Null]

В общем случае это неверно. Возможно про множества $A$ и $B$ известно что-то еще.

[ewert]

kkar в сообщении #360676 писал(а):

Как показать такое включение множеств: $A\subset \overline{B}$, если известно точно, что не верно включение $A\subset B$?
$\overline{B}$ - замыкание.

Никак:

$A\subset \overline{B} \quad\Leftrightarrow\quad A\cap B=\varnothing;$

$A\subset B \quad\Leftrightarrow\quad A\cap \overline{B}=\varnothing.$

Из того, что $A$ пересекается с дополнением к $B$ -- никак не следует, что оно не может пересекаться с самим $B$.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #360685 писал(а):

$A\subset \overline{B} \quad\Leftrightarrow\quad A\cap B=\varnothing;$

Насколько я понял, под $\overline{B}$ подразумевается не дополнение к $B$, а топологическое замыкание $B$.

kkar в сообщении #360676 писал(а):

$\overline{B}$ - замыкание.

[kkar]

Профессор Снэйп, так оно и есть.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #360686 писал(а):

Насколько я понял, под $\overline{B}$ подразумевается не дополнение к $B$, а топологическое замыкание $B$.

Да, зевнул, прошу прощения. Ну тем хуже: такая версия -- вообще бессмысленна.

[Профессор Снэйп]

Данных в условии задачи недостаточно. При некоторых $A$ и $B$ утверждение истинно, при некоторых ложно, так что ни доказать, ни опровергнуть его не удастся.

[kkar]

Допустим, что оно истинно. Скажем, рассмотрим любой элемент множества А. Что именно надо показать? Найти какую то последовательность, сходящуюся к элементу? Или в общем случае нельзя сказать?

[ewert]

Как уже было неоднократно замечено, утверждение неверно (и даже нелепо). Поэтому доказать его не так просто.

[kkar]

Почему нелепо? Например, А={0}, B=(0,1). Тогда A не содержится в B, но содержится в замыкании В (по стандартной топологии).

[ewert]

kkar в сообщении #360704 писал(а):

Почему нелепо? Например,

Вот это трёхсловосочетание -- уже и нелепо.

[gris]

по-моему автор хочет просто узнать, как можно доказывать принадлежность множества к замыканию другого множества. Не вообще, а в частных случаях. Например, алгебраические числа принадлежат к замыканию множества рациональных чисел. Да, для этого надо показать, что любое алгебраическое число является элементом замыкания. А замыкание состоит из раз, два, три. Предельные точки там есть. Ну а если определение без предельных точек, то придётся показывать, что любое замкнутое множество, содержащее второе множество содержит и первое.

[ewert]

Уточню, почему. Слово "например" подразумевает приведение некоего примера (не имеет значения, какого конкретно) или там контрпримера. Которым можно доказать отсутствие следствия. Но ни в коем разе -- наличие следствия.

[Joker_vD]

(глупость написал)

[moscwicz]

На всякий случай: $\partial B\ne \overline{B}\backslash B$, вообще говоря