Попытка задач

[arseniiv]

1. Пускай у нас есть какое-то функциональное преобразование $X$. Известно, что $DX\left\{f\right\} = X\left\{f\right\} - X\left\{X\left\{f(f)\right\}\right\}$. Найдите $X\left\{f\right\}$.

[Профессор Снэйп]

Что означает $D$? И почему $f$ в фигурных скобках? И выражение $f(f)$ не понятно.

[arseniiv]

$D$ — оператор диференцирования. Да, надо было скобки убрать, они оказались излишними. А вместо $f(f)$ сделать $f \circ f$. Переписанное уравнение: $DXf = Xf - XX \left( f \circ f \right)$.

[arseniiv]

Ладно, ясно, что задача не удалась. Попробую дальше.
2. На бесконечной ленте написаны цифры от $0$ до $b-1$, встречающиеся с равной вероятностью. Мысленно уберём все нули, разделив ими ленту на куски. Какова вероятность встретить кусок данной длины (1) если ткнуть пальцем в любую позицию ленты (2) если сложить куски в бесконечный мешок и вынуть один из них? Какова вероятность встретить кусок с написанным данным положительным целым числом (лента односторонняя)?

-- Вт окт 12, 2010 22:53:01 --

Можно сделать задачу получше и одновременно посложнее. Пусть убираются не нули, а ещё один вид знаков, появляющийся с одинаковой верочтностью с каждым из остальных, например, $+$. Тогда пусть лента разрезается по выкинутым плюсам, а не по нулям, чтобы они могли быть в середине чисел, а то иначе много чисел будут обделены и встречаться с нулевой вероятностью на страницах кусках ленты. Но это усложнит задачу, потому что начальные нули чисел всё же не учитываются в их значении. Длин кусков это не коснётся, ну и что.

Решайте такой вариант, который больше понравится (с нулями или плюсами).

Примеры деления конечной ленты на куски в первом варианте и во втором (пусть $b=3$):

0201120200110110222101102100212201

Куски: 2, 112, 2, 11, 11, 2221, 11, 21, 2122, 1.
Числа в этом варианте всегда той же длины, что и куски, ну это и так ясно.

+1022+1012+1+00+122+1+011++12210

Куски: 1022, 1012, 1, 00, 122, 1, 011, 12210.
Числа: 1022, 1012, 1, 0, 122, 1, 11, 12210.

-- Вт окт 12, 2010 23:39:49 --

Полагаю, снова родилась задача-монстр. Что-то не очень везёт.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Точно никто не хочет порешать?

[Профессор Снэйп]

По поводу первой задачи что надо-то? Найти общее решение? А то ведь одно из решений $X \equiv 0$ сразу видно

[arseniiv]

Общее, общее.

-- Ср окт 13, 2010 15:43:47 --

Лучше пусть кто-нибудь вторую порешает.

[Null]

У "ткнуть пальцем в любую позицию ленты" какое распределение?
И лента она в обе стороны бесконечная?
И какой ответ если мы в 0 ткнем?

[Профессор Снэйп]

А про $X$ что-нибудь известно? Например, оно должно быть линейным?

[arseniiv]

Null в сообщении #361610 писал(а):

У "ткнуть пальцем в любую позицию ленты" какое распределение?
И лента она в обе стороны бесконечная?
И какой ответ если мы в 0 ткнем?

Лента бесконечная в обе стороны. Если ткнём в ноль, значит, не встретился кусок никакой длины. Ну, можно сказать, что мы попали в кусок нулевой длины. А вот распределение… Не знаю. Хотелось бы равномерное, но ведь оно возможно только на конечной ленте. Напридумывал и не знаю теперь, что делать.

Профессор Снэйп в сообщении #361614 писал(а):

А про $X$ что-нибудь известно? Например, оно должно быть линейным?

Ну можно начать с линейного.

(Оффтоп)

У меня корыстные цели — посмотреть, как можно такое порешать, вдруг да пригодится!

[Хорхе]

Да нет, с числами на ленте все вокруг геометрического и равномерного распределений, то есть не очень интересно. Кстати, это независимо от того смысла, который мы вкладываем в "случайное вынимание из бесконечного мешка".

(Да, от смысла, который мы вкладываем в "тыкание пальцем" в ленту, ответ зависит. Впрочем, тут довольно естественно взвесить вероятности в ответе с мешком длинами чисел.)

[arseniiv]

Пока что попробую ещё придумать…
3. У Профессора Снэйпа есть полупрозрачные пластинки с коэффициентами поглощения $0.4$, $0.5$, $0.7$, $0.1$, $0.3$ и $0.8$. Пришёл ewert и сделал из них несколько стопок (от одной из шести пластинок до шести по одной, в любых сочетаниях). Какова вероятность, что все полученные стопки поглощают не менее половины света?

[Хорхе]

А тут есть какой-то способ, кроме полного разумного перебора?

[paha]

arseniiv в сообщении #360657 писал(а):

1. Пускай у нас есть какое-то функциональное преобразование $X$. Известно, что $DX\left\{f\right\} = X\left\{f\right\} - X\left\{X\left\{f(f)\right\}\right\}$. Найдите $X\left\{f\right\}$.

должно быть верно для любой функции. Пусть $f(x)=x$ и $g(x)=X(f)(x)$, тогда

$$ g'(x)=g(x)-g(g(x)) $$

Вот, $g=const$ годится)))

[EtCetera]

paha

paha в сообщении #361833 писал(а):

Вот, $g=const$ годится)))

$g(x)=x-1$ тоже подходит.