Сидим мы тут с приятелем, вспоминаем юности дни золотые, помянули и дедушку
Ферма.
А чего нам Ферма, думаем, мы и сами не лыком шиты.
Вот такая возникла задачка.
n, k - целые
Диофантовское уравнение

Как дела у него с решениями?
Для n=2, k=2 - тривиально (3 + 4 = 5) (Степени опускаю)
При

получается ВТФ.
Для

приятель легко нашел вручную (

и т.д.)
Для

уже пришлось подключить компутер (я высказал предположения,
что при

решения нет, и стал сам себя опровергать)
И нашлось!

Тупой перебор до 400 занял 1.5 часа
Потом вспомнилось кой-чего из элементарной теории чисел - перебор
до 500 занял 8 мин. (

)
Для

получилось еще краше:

Самое смешное, что для

получилось

Т.е. обобщить ВТФ в том смысле, что при

решений нету - не получается.
Теперь на очереди вопрос про

Запустил комп на 4 суток, сам уехал на дачу, приезжаю - пусто.
Потом допетрил, что в малых числах решения и быть не может.
Для шестерки - если хоть одно слагаемое не делится на 2, все остальные
должны делиться на 8.
А ежели не делится на 3, то все остальные делятся на 9.
Т.е. перебор надо начинать с 72 и с таким же (приблизительно) шагом.
В общем, тут довольно любопытные под-задачки получаются...
Как математические, так и программистские
Познания наши в теории чисел - на элементарно-интуитивном уровне.
Теперь вопрос. Может быть мы зря головы ломаем и компутер мучаем,
может быть задачка давно уж решена?
И есть ли какие способы сокращения перебора (особенно для

)
ЗЫ: Назвали мы нашу игрушку весьма претензиозно - ОТФ -
Обобщенная Теорема Ферма