Как мы обобщали дедушку Ферма

[Day]

Сидим мы тут с приятелем, вспоминаем юности дни золотые, помянули и дедушку
Ферма.
А чего нам Ферма, думаем, мы и сами не лыком шиты.
Вот такая возникла задачка.

n, k - целые
Диофантовское уравнение
$x1^k + ... xn^k = z^k$
Как дела у него с решениями?
Для n=2, k=2 - тривиально (3 + 4 = 5) (Степени опускаю)
При $n=2, k>2$ получается ВТФ.
Для $n=3, k=3$ приятель легко нашел вручную ($5 +4 +3 = 6$, $8+ 6+ 1 = 9$ и т.д.)
Для $n = k = 4$ уже пришлось подключить компутер (я высказал предположения,
что при $n>3$ решения нет, и стал сам себя опровергать)
И нашлось! $315+ 272 +120 +30 = 353$
Тупой перебор до 400 занял 1.5 часа
Потом вспомнилось кой-чего из элементарной теории чисел - перебор
до 500 занял 8 мин. ( $X^{(p-1)} == 1 (mod p), p-простое(Эйлер)$)
Для $n = k = 5$ получилось еще краше: $67+ 47+ 46 +43+ 19 = 72$
Самое смешное, что для $k=5, n=4$ получилось $133 +110+ 84+ 27 = 144$
Т.е. обобщить ВТФ в том смысле, что при $n < k$ решений нету - не получается.

Теперь на очереди вопрос про $n = k = 6$
Запустил комп на 4 суток, сам уехал на дачу, приезжаю - пусто.
Потом допетрил, что в малых числах решения и быть не может.
Для шестерки - если хоть одно слагаемое не делится на 2, все остальные
должны делиться на 8.
А ежели не делится на 3, то все остальные делятся на 9.
Т.е. перебор надо начинать с 72 и с таким же (приблизительно) шагом.
В общем, тут довольно любопытные под-задачки получаются...
Как математические, так и программистские

Познания наши в теории чисел - на элементарно-интуитивном уровне.

Теперь вопрос. Может быть мы зря головы ломаем и компутер мучаем,
может быть задачка давно уж решена?
И есть ли какие способы сокращения перебора (особенно для $k != p-1$)

ЗЫ: Назвали мы нашу игрушку весьма претензиозно - ОТФ -
Обобщенная Теорема Ферма

[tolstopuz]

http://euler.free.fr/

[Day]

tolstopuz, большое спасибо!
Оказывается, недообощали мы с приятелем.
Будем разбираться.
Очень интересно.

[vek88]

Давным давно, где-то в классе 10-м, увлекся теоремой Ферма. Тогда у меня возникло ощущение, что если

$$\frac{1}{n_1}+ ...+ \frac{1}{n_m} >1,$$

то уравнение

$$x_1^{n_1}+ ... +x_{m-1}^{n_{m-1}}= x_m^{n_m}$$

имеет решение в целых положительных числах. В противном случае может не иметь решения (например, ВТФ), а может и иметь (нашел примеры).

То же имеет место, если часть слагаемых из левой части перенести в правую.

А вот теперь, увидев специалистов в этом вопросе, захотел узнать - прав я был тогда, или нет? Заранее спасибо за ответ.

[Руст]

В противном случае может иметь решения, может не иметь решения - пустое утверждение, которое всегда справедливо.
Что касается первого, оно так же неверное. Этого не достаточно для одинаковых высоких степеней. По крайней мере это не доказано. Когда степени взаимно простые, легко показать наличие бесконечного числа решений, поэтому более интересен крайний случай с одинаковыми степенями (по крайней мере с каждой стороны) уравнения типа $x_1^n+...+x_m^n=y_1^l+...+y_k^l.$
Для таких уравнений в случае $m>n$ или $k>l$ можно показать существование бесконечного числа решений в натуральных числах. Но ваше условие $\frac{m}{n}+\frac{k}{l}>1$ может оказаться не достаточным.

[vek88]

Руст в сообщении #360046 писал(а):

(1) В противном случае может иметь решения, может не иметь решения - пустое утверждение, которое всегда справедливо.
(2) Что касается первого, оно так же неверное. Этого не достаточно для одинаковых высоких степеней. По крайней мере это не доказано. Когда степени взаимно простые, легко показать наличие бесконечного числа решений, поэтому более интересен крайний случай с одинаковыми степенями (по крайней мере с каждой стороны) уравнения типа $x_1^n+...+x_m^n=y_1^l+...+y_k^l.$
Для таких уравнений в случае $m>n$ или $k>l$ можно показать существование бесконечного числа решений в натуральных числах. Но ваше условие $\frac{m}{n}+\frac{k}{l}>1$ может оказаться не достаточным.

1. Ну уж Вы слишком строго отнеслись к школьнику. Утверждение не совсем пустое и априори не очевидное. Во всяком случае школьник заранее не знал этого - у него было подозрение, что в противном случае не имеет решения. Однако школьник все-таки доказал, что это неверно.

2. Спасибо за информацию. Но, если честно, я Вас не понял: "Этого не достаточно для одинаковых высоких степеней" или "это не доказано"? Это ИМХО разные вещи.

Чтобы прояснить ситуацию, обращаюсь к участникам формума с вопросом. Может кто-нибудь привести пример, опровергающий мое предположение:

vek88 в сообщении #360013 писал(а):

если

$$\frac{1}{n_1}+ ...+ \frac{1}{n_m} >1,$$

то уравнение

$$x_1^{n_1}+ ... +x_{m-1}^{n_{m-1}}= x_m^{n_m}$$

имеет решение в целых положительных числах.

Т.е. пример, для которого условие выполнено, а решения нет? Или хотя бы доказать, что такой пример существует?

[tolstopuz]

The general super-Fermat equation is the equation $Ax^p+By^q +Cz^r=0$ for given nonzero integers $A$, $B$, $C$ and integral exponents $p$, $q$, and $r$ greater than or equal to $2$ (otherwise the equation would have little interest). The number of integers less than or equal to some large $X$ of the form $Ax^p$ is $O(X^{1/p})$, and similarly for $By^q$ and $Cz^r$. Thus, to be able to obtain $0$ as a sum of such quantities by something other than pure accident, it is reasonable to believe that we must have $X\leO(X^{1/p+1/q+1/r})$, in other words $1/p+1/q+1/r\ge1$. Thus, we expect (of course we have no proof) that when $1/p+1/q+1/r<1$ (the so-called hyperbolic case), we will have only finitely many solutions. On the other hand, when $1/p+1/q+1/r>1$ (the so-called elliptic or spherical case), we expect an infinity of solutions. Finally, as we have seen in Sections 6.4.2, 6.4.3, 6.4.4, 6.4.5, and 6.5, in the intermediate case $1/p+1/q+1/r=1$ (the so-called parabolic) we can have infinitely many or finitely many solutions, depending on $A$, $B$, $C$.

Henri Cohen, Number Theory, Volume II: Analytic and Modern Tools (Springer GTM 240), p. 463

[vek88]

Спасибо, tolstopuz!

Я ни уха ни рыла в теории чисел. Но, если я правильно Вас понял, мое предположение полувековой давности не совсем туфта и находится где-то не очень далеко от истины. Кстати, смутно припоминаю, что рассуждал похожим "вероятностным" способом

tolstopuz в сообщении #360215 писал(а):

something other than pure accident

в терминах "либо бесконечно много решений, либо нет".

Надо же - какой талант пропал. А я тогда посчитал это мелкой и малозначительной задачей. Кем бы, интересно, я стал сейчас ... если бы занялся теорией чисел? Вместо того, чтобы идти на физтех.

Припоминаю также, что вывела меня в эту интересную область замечательная книга Бермана Г.Н. Число и наука о нем (фамилию автора забыл - только что нашел в Яндексе). В школе зачитал ее до дыр. И она долго хранилась у меня, но недавно куда-то канула.

[maxal]

Уже обсуждалось - см. post278634.html

vek88 в сообщении #360013 писал(а):

Давным давно, где-то в классе 10-м, увлекся теоремой Ферма. Тогда у меня возникло ощущение, что если

$$\frac{1}{n_1}+ ...+ \frac{1}{n_m} >1,$$

то уравнение

$$x_1^{n_1}+ ... +x_{m-1}^{n_{m-1}}= x_m^{n_m}$$

имеет решение в целых положительных числах.

Это тоже уже упоминалось - см. post278634.html#p278634

[vek88]

maxal в сообщении #360397 писал(а):

Уже обсуждалось - см. post278634.html

Спасибо! Это приятно щекочет самолюбие. Особенно с учетом того, что мне пришло это в голову полвека назад в 9-10-м классе и совершенно независимо. И пришло в голову, честно говоря, на халяву - всего то прочитал маленькую популярную книжку Бермана.

ИМХО основная заслуга, однако, не моя, а Бермана - что значит вовремя дать школьнику в руки хорошую книгу.

К сожалению, сейчас писать хорошие книги, особенно для школьников, у нас в стране не выгодно. Трудов много (хорошую книгу написать очень непросто), а платят (в России) мало, т.к. у нас пока еще предпочитают пиратские копии. И по вполне объективной причине - мало кто может позволить купить книгу за $100 и более.

Еще раз спасибо за ссылки - приму к сведению. Но в ферматисты не пойду - слишком много у меня других не менее интересных направлений: от бетонирования и иной полезной деятельности в своем хозяйстве до физики, оснований математики, программирования, здорового питания, управления рисками и финансовой математики.