Куб и степень тройки

[Xenia1996]

В каких случаях куб натурального числа, сложенный с единицей, равен степени тройки с натуральным показателем?
Переведя на математический язык, получаем уравнение $n^3+1=3^m$.

Честно говоря, мне самой не очень понравилось моё собственное решение (помещаю его в оффтоп, но не только поэтому). Если найдёте покороче и поэлегантнее, буду рада.

(Оффтоп)

Согласно формуле суммы кубов, $n^3+1=(n+1)(n^2-n+1)=3^m$.

Если произведение двух натуральных сомножителей является степенью тройки с натуральным показателем, то каждый из сомножителей является степенью тройки с целым неотрицательным показателем. Таким образом, $n^2-n+1$ либо делится на $9$, либо равен $3$, либо равен $1$ (под "либо" я подразумеваю $XOR$, а не $OR$).

Докажем, что $n^2-n+1$ на $9$ делиться не может.
Для того, чтобы $n^2-n+1$ делилось на $9$, необходимо и достаточно, чтобы $n^2-n=n(n-1)$ давало остаток $8$ при делении на $9$. Но произведение двух последовательных целых чисел не может давать остаток $8$ при делении на $9$. В этом легко убедиться, воспользовавшись арифметикой остатков.

Если $n^2-n+1=1$, то либо $n=1$, либо $n=0$. Но $0$ не является натуральным числом, а $1$ - не годится.

Если $n^2-n+1=3$, то либо $n=2$, либо $n=-1$ Но $-1$ не натурально, а число $2$ - подходит и является единственным решением.

Таким образом, $n=2, m=2$

-- Ср окт 06, 2010 10:51:54 --

(Оффтоп)

Кстати, как правильно: "не только поэтому" или "не только по этому"?

[worm2]

Я рассуждал примерно так:
$(n+1)(n^2-n+1)=3^m$
$n+1=3^a$, $n^2-n+1=3^b$, где $a$ и $b$ — целые неотрицательные.
Из первого выражаем $n$, подставляем во 2-е:
$3^{2a-1}-3^a-3^{b-1}=-1$.
Отсюда видно, что слева хотя бы один из показателей степени должен быть = 0. Рассматривая 2 возможных случая: $a=0$ и $b-1=0$, получаем 2 решения в целых. Первое, правда, не удовлетворяет условию натуральности $m$ и $n$.

(Оффтоп)

Цитата:

Кстати, как правильно: "не только поэтому" или "не только по этому"?

В данном случае "не только поэтому". Второй вариант возможен в другой ситуации: "Не только по этому предмету у Саши была отличная оценка"

[ewert]

Нет, конечно, $n^3+1=(n+1)(n^2-n+1)$, но дальше, по-моему, в лоб напрашивается так. Поскольку $n=0$ не подходит, нужно $n=3k-1$ (иначе не делится на три первый сомножитель). Тогда

$(n+1)(n^2-n+1)=3k\cdot\big((9k^2-6k+1)-(3k-1)+1\big)=3k\cdot3\cdot(3k^2-3k+1)$,

и всё: последний сомножитель не делится на три никогда, т.е. обязан быть единичным, так что необходимо $k^2-k=0$. При этом $k=0$ не подходит, а $k=1$ -- в самый раз.

[age]

Добавлю свое:
$\begin{cases} n+1=3^k \\n^2-n+1=3^m \end{cases}$
Откуда $n=3^k-1$, $n^2-n+1=3^{2k}-3^{k+1}+3=3^m$
Разделим обе части последнего равенства на $3$:
$3^{2k-1}-3^k+1=3^{m-1}$
Очевидно, что последнее возможно только при $m=1$, т.к. при $m>1$ выражение $(3^{2k-1}-3^k)+1\div 3$, что невозможно.
Откуда $k=1$, $n=2$.