В каких случаях куб натурального числа, сложенный с единицей, равен степени тройки с натуральным показателем?
Переведя на математический язык, получаем уравнение

.
Честно говоря, мне самой не очень понравилось моё собственное решение (помещаю его в оффтоп, но не только поэтому). Если найдёте покороче и поэлегантнее, буду рада.
(Оффтоп)
Согласно формуле суммы кубов,

.
Если произведение двух натуральных сомножителей является степенью тройки с натуральным показателем, то каждый из сомножителей является степенью тройки с целым неотрицательным показателем. Таким образом,

либо делится на

, либо равен

, либо равен

(под "либо" я подразумеваю

, а не

).
Докажем, что

на

делиться не может.
Для того, чтобы

делилось на

, необходимо и достаточно, чтобы

давало остаток

при делении на

. Но произведение двух последовательных целых чисел не может давать остаток

при делении на

. В этом легко убедиться, воспользовавшись арифметикой остатков.
Если

, то либо

, либо

. Но

не является натуральным числом, а

- не годится.
Если

, то либо

, либо

Но

не натурально, а число

- подходит и является единственным решением.
Таким образом,

-- Ср окт 06, 2010 10:51:54 --(Оффтоп)
Кстати, как правильно: "не только поэтому" или "не только по этому"?