свойство нильпотентной матрицы

[Spook]

$det|E+N|=1$, $E$ - единичная, $N$ - нильпотентная (квадратная матрица со свойством $N^k=0$).

[ewert]

Если это был вопрос, то контрвопрос: а чему равны собственные числа $N$ и, соответственно, $E+N$?...

[Spook]

вот я и не пойму, как меняются характеристические числа при суммировании
у нильпотентной - все нули, а определитель равен их произведению.

[ИСН]

Вообще по-разному бывает, но если они все одинаковые, то там просто.

[Spook]

ИСН, т.е. если собственные числа у каждой матрицы одинаковые, то можно что-то сказать про собственные числа суммы?

[ewert]

Spook в сообщении #359357 писал(а):

вот я и не пойму, как меняются характеристические числа при суммировании

при суммировании вообще -- неизвестно, а вот при прибавлении скалярной матрицы (т.е. пропорциональной единичной) -- очень даже известно, достаточно лишь вспомнить определение собственного числа. Или, что корректнее (для общего случая), про характеристический многочлен.

[Spook]

Точно. Я не понимал какую-то простую вещь (хотя определения, конечно, помнил):
$det|A-\lambda{E}|=0$,
$det|A-(\lambda - 1)E}|=0$.
Спасибо!