выпуклый многогранник, линейное отображение

[Anya90]

Здравствуйте.

Дано, что $X$ - выпуклый компактный n-мерный многогранник. Как доказать, что $AX$ - выпуклый компактный n-мерный многогранник? Здесь $A$ - m x n матрица.

И еще. Если $y^1, y^2$ - m-мерные векторы, $\lambda \in (0,1)$, правильно ли, что

$$max_{x\in X}[\lambda <y^1,Ax>+(1-\lambda) <y^2,Ax>]=\lambda max_{x\in X}<y^1,Ax>+(1-\lambda) max_{x\in X}<y^2,Ax>$$

?

Спасибо.

[paha]

Anya90
мы же уже обсуждали тут похожий вопрос с Вами.
Афинное преобразование сохраняет прямые, а значит и нестрогое отношение "между".

Про второй вопрос: посмотрите на плоскости

[ewert]

Anya90 в сообщении #359063 писал(а):

Здравствуйте.

Дано, что $X$ - выпуклый компактный n-мерный многогранник. Как доказать, что $AX$ - выпуклый компактный n-мерный многогранник? Здесь $A$ - m x n матрица.

С размерностями явно какая-то ерунда. А если считать, что матрица квадратна и невырожденна, то всё тривиально:

$<\vec l_k,\vec x>\leqslant c_k \quad\Leftrightarrow\quad <{(A^*)}^{-1}\vec l_k,A\vec x>\leqslant c_k$.

[paha]

ewert в сообщении #359072 писал(а):

С размерностями явно какая-то ерунда

ну, имеется ввиду, что $Ax$ -- это $m$-столбец

[ewert]

paha в сообщении #359114 писал(а):

ewert в сообщении #359072 писал(а):

С размерностями явно какая-то ерунда

ну, имеется ввиду, что $Ax$ -- это $m$-столбец

Ну и как тогда тот многогранник будет энмерным?...

[paha]

ewert в сообщении #359147 писал(а):

Ну и как тогда тот многогранник будет энмерным?...

да уж... многогранник может быть вырожденным, вероятно, ведь про ранг $A$ ничего не сказано